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Integral mit Betrag und Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 Di 18.02.2014
Autor: mtr-studi

Aufgabe
Berechnen Sie das folgende uneigentliche Integral, sofern dieses exisitiert.

[mm] \int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm]



Hallo Leute,
wie muss ich hier vorgehen?

Könnte ich das Integral z.B. schreiben als

[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx [/mm] und es dann einzeln integrieren?


Vielen Dank im Voraus!



        
Bezug
Integral mit Betrag und Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Di 18.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Berechnen Sie das folgende uneigentliche Integral, sofern
> dieses exisitiert.

>

> [mm]\int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx[/mm]

>
>

> Hallo Leute,
> wie muss ich hier vorgehen?

>

> Könnte ich das Integral z.B. schreiben als

>

> [mm]\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx[/mm]

Das ist schonmal ein Anfang. Aber zur Berechnung taugt er nicht, denn es sind jetzt zwei uneigentliche Integrale. Sprich: du musst da auf jeden Fall mit einer Grenzertbertrachtung dran. Andererseits könntest du dir aber die Symmetrie des Integranden zu x=1 zunutze machen...

> und es dann einzeln integrieren?

Wie gesagt: einfach nur integrieren sollte man hier nicht tun, auch und gerade dann, wenn es augenscheinlich klappen würde.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Integral mit Betrag und Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 Di 18.02.2014
Autor: mtr-studi

Hallo,

ich habe das jetzt mal mit den zwei uneigentlichen Integralen und der Grenzwertbetrachtung probiert, aber komme da auf sehr unschöne Ergebnisse.

$ [mm] \int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm] $=$ [mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx [/mm] $


[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx=\limes_{a\rightarrow1}\int_0^a \frac{1}{x-1}dx=\limes_{a\rightarrow1}ln(x-1)\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow1}ln(a-1)-ln(-1) [/mm]

Der LN ist aber doch gar nicht für negative Zahlen definiert oder ist hier jetzt der betragsmäßige LN gemeint?


Vielen Dank im Voraus!

Bezug
                        
Bezug
Integral mit Betrag und Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Di 18.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> ich habe das jetzt mal mit den zwei uneigentlichen
> Integralen und der Grenzwertbetrachtung probiert, aber
> komme da auf sehr unschöne Ergebnisse.

>

> [mm]\int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm]=[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx[/mm]

>
>

> [mm]\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx=\limes_{a\rightarrow1}\int_0^a \frac{1}{x-1}dx=\limes_{a\rightarrow1}ln(x-1)\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow1}ln(a-1)-ln(-1)[/mm]

>

Das mit den 'unschönen Ergebnissen' ist auch kein Wunder: du hast

- das Wurzelzeichen unterschlagen.

- die Betragsklammern falsch aufgelöst.

Probiers mal mit Korrektur dieser beiden Fehler und du wirst sehen, dass dein Integral existiert.

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Integral mit Betrag und Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Di 18.02.2014
Autor: mtr-studi

Hallo,
entschuldige ich bin etwas krank zurzeit.

Also nochmal:
$ [mm] \int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm] $=$ [mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx [/mm] =2+2=4$

[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx =\limes_{a\rightarrow 1}\int_0^a \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx=\limes_{a\rightarrow 1} (-1)\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(1-x)^{\frac{-1}{2}+1}\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow 1}-2\sqrt{1-x}\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow 1} -2\sqrt{1-a}+2\sqrt{1-0}=2 [/mm]

[mm] \int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx =\limes_{a\rightarrow 1}\int_a^2 \frac{1}{\sqrt{x-1}}dx=\limes_{a\rightarrow 1} \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(1-x)^{\frac{-1}{2}+1}\mathop{\big|}\limits_a^2=\limes_{a\rightarrow 1}2\sqrt{1-x}\mathop{\big|}\limits_a^2=\limes_{a\rightarrow 1} 2\sqrt{2-1}-2\sqrt{a-1}=2 [/mm]


So sollte es richtig sein oder?

Vielen Dank im Voraus!


Bezug
                                        
Bezug
Integral mit Betrag und Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:18 Di 18.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,
> entschuldige ich bin etwas krank zurzeit.

Willkommen im Club. ;-)

>

> Also nochmal:
> [mm]\int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm]=[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx =2+2=4[/mm]

>

> [mm]\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx =\limes_{a\rightarrow 1}\int_0^a \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx=\limes_{a\rightarrow 1} (-1)\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(1-x)^{\frac{-1}{2}+1}\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow 1}-2\sqrt{1-x}\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow 1} -2\sqrt{1-a}+2\sqrt{1-0}=2[/mm]

>

> [mm]\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx =\limes_{a\rightarrow 1}\int_a^2 \frac{1}{\sqrt{x-1}}dx=\limes_{a\rightarrow 1} \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(1-x)^{\frac{-1}{2}+1}\mathop{\big|}\limits_a^2=\limes_{a\rightarrow 1}2\sqrt{1-x}\mathop{\big|}\limits_a^2=\limes_{a\rightarrow 1} 2\sqrt{2-1}-2\sqrt{a-1}=2[/mm]

>
>

> So sollte es richtig sein oder?

Ja. Jetzt überlege mal, weshalb da beidesmal das gleiche herauskommt, dann darfst du auch sofort

[mm] \int_{0}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|x-1|}}}=2*\lim_{a\downarrow{1}} \int_{a}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{x-1}}}=...=4 [/mm]

rechnen.

Gruß, Diophant 

 

Bezug
                                                
Bezug
Integral mit Betrag und Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:24 Di 18.02.2014
Autor: mtr-studi

Das erspart einem natürlich viel Zeit. Der Graph ist also durch den Betrag an der Unstetigkeitsstelle gespiegelt. :-)

Bezug
        
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Integral mit Betrag und Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Di 18.02.2014
Autor: fred97


> Berechnen Sie das folgende uneigentliche Integral, sofern
> dieses exisitiert.
>
> [mm]\int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx[/mm]
>  
>
> Hallo Leute,
>  wie muss ich hier vorgehen?
>  
> Könnte ich das Integral z.B. schreiben als
>  
> [mm]\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx[/mm]
> und es dann einzeln integrieren?

Ja, aber das erste Integral lautet so:

[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx. [/mm]

FRED

>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>  
>  


Bezug
                
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Integral mit Betrag und Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:35 Di 18.02.2014
Autor: mtr-studi

Ja, das hatte ich total vergessen mit dem Vorzeichenwechsel im negativen Bereich. Vielen Dank!

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