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Ich habe folgende Aufgabe vor mit liegen:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{\wurzel[3]{x}}{x^2+x+1} dx}
[/mm]
Habe also schonmal die Polstellen bestimmt:
[mm] x_{1}=- \frac{1}{2} [/mm] + [mm] i*\frac{\sqrt{3}}{2}
[/mm]
[mm] x_{2}=- \frac{1}{2} [/mm] - [mm] i*\frac{\sqrt{3}}{2}
[/mm]
Und jetzt wollte ich das Residuum an der Polstelle mit positivem Imaginärteil ausrechnen:
Mein Weg:
[mm] Res(f,z_{2}) [/mm] = [mm] (x-x_2)*\frac{x^{\frac{1}{3}}}{(x-x_1)(x-x_2)}|_{x->x_2} [/mm] = [mm] \frac{(-\frac{1}{2}+i*\frac{\sqrt(3)}{2})^{\frac{1}{3}}}{i*\sqrt{3}}
[/mm]
So und jetzt komme ich nicht weiter. Wenn ich das mit [mm] \pi*i [/mm] multipliziere komme ich nie auf die vorgegebene Lösung [mm] \frac{2*\sqrt{3}}{9}*\pi
[/mm]
sondern auf [mm] \frac{(-\frac{1}{2}+i*\frac{\sqrt(3)}{2})^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{3}}*\pi
[/mm]
Wo liegt denn mein Denkfehler?
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Hallo jarjar2008,
> Ich habe folgende Aufgabe vor mit liegen:
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{\wurzel[3]{x}}{x^2+x+1} dx}[/mm]
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> Habe also schonmal die Polstellen bestimmt:
> [mm]x_{1}=- \frac{1}{2}[/mm] + [mm]i*\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
> [mm]x_{2}=- \frac{1}{2}[/mm] - [mm]i*\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
>
> Und jetzt wollte ich das Residuum an der Polstelle mit
> positivem Imaginärteil ausrechnen:
>
> Mein Weg:
>
> [mm]Res(f,z_{2})[/mm] =
> [mm](x-x_2)*\frac{x^{\frac{1}{3}}}{(x-x_1)(x-x_2)}|_{x->x_2}[/mm] =
> [mm]\frac{(-\frac{1}{2}+i*\frac{\sqrt(3)}{2})^{\frac{1}{3}}}{i*\sqrt{3}}[/mm]
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> So und jetzt komme ich nicht weiter. Wenn ich das mit [mm]\pi*i[/mm]
> multipliziere komme ich nie auf die vorgegebene Lösung
> [mm]\frac{2*\sqrt{3}}{9}*\pi[/mm]
> sondern auf
> [mm]\frac{(-\frac{1}{2}+i*\frac{\sqrt(3)}{2})^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{3}}*\pi[/mm]
>
> Wo liegt denn mein Denkfehler?
Wandle [mm]x^{\bruch{1}{3}}[/mm] in ![[]](/images/popup.gif) Exponentialform bzw. trigonometrische Form um.
Gruß
MathePower
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