Integral lösen(mit cauchy) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mi 28.05.2008 | | Autor: | jeffini |
| Aufgabe | folgendes Integral soll mit den cauchyschen integralformeln gelöst werden.
[mm] \integral_{abs(x)=1}{cos(x) / x dx} [/mm] |
Also, erstens bin ich mir nicht sicher ob ich zunächst zeigen muss dass cos(x) / x holomorph ist, weil das muss ja gelten damit mann mit cauchy argumentieren kann.
Dann wiess ich gar nicht wie ich mit den Cauchy Formeln explizit arbeiten kann. Ich habe mir zwar meinen Aufschrieb angeschaut, allerdings ist da kein Beispiel angegeben und nun soll ich für nächste Woche 3 Integrale lösen. Hier habe ich das Einfachste reingepostet damit es mir jemand schritt für schritt erklären kann.
Im voraus vielen Dank für eure Hilfe.
mfg jeff
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, Du sollst über die Einheitskreislinie integrieren. Wenn das so ist, so kannst Du das Integral mit der Cauchyschen Integralformel berechnen. Setze
f(z) = cos(z).
Mit der Integralformel ist dann 1 = f(0) = ?
FRED
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Hallo!
Und wie löse ich das, wenn ich diese Formel nicht zur Verfügung habe?
Denn genau vor diesem Problem stehe ich z.Zt.
Ich soll das Integral von sin z / z entlang des Kreisrandes (r=0,5) um 0 berechnen.
Ich weiß dass null rauskommen muss aber nicht, wie ich es zeige. Ich weiß dass sin z / z stetig fortsetzbar ist in 0. der kreis ist ein sterngebiet. nur leider ist ja die funktion nur holomorph im Kreis ohne null. damit kann ich den Chauchyschen Integralsatz für Sterngebiete vergessen (da er Holomorphie im ganzen Gebiet voraussetzt).
Noch schlimmer wird es dann bei der zweiten Teilaufgabe: exp(z) / z soll entlang desselben Weges integriert werden - da ich den Residuensatz und die Chauchyformel nicht habe, (nur Goursat und Cauchy für Sterngebiete) hab ich bisschen mit sinh und cosh umgeformt aber bislang noch keine Lösung. Wie mach ich das denn?? Ich weiß dass 2pi*i rauskommen soll, aber das wäre ja dasselbe wie nur 1/z integriert?!?
Wäre sehr froh, wenn mir da jemand einen Hinweis geben könnte! Vielen Dank im Voraus!
Lg FilleDeDanann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:52 Mo 23.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> Und wie löse ich das, wenn ich diese Formel nicht zur
> Verfügung habe?
> Denn genau vor diesem Problem stehe ich z.Zt.
>
> Ich soll das Integral von sin z / z entlang des Kreisrandes
> (r=0,5) um 0 berechnen.
>
> Ich weiß dass null rauskommen muss aber nicht, wie ich es
> zeige. Ich weiß dass sin z / z stetig fortsetzbar ist in 0.
> der kreis ist ein sterngebiet. nur leider ist ja die
> funktion nur holomorph im Kreis ohne null. damit kann ich
> den Chauchyschen Integralsatz für Sterngebiete vergessen
> (da er Holomorphie im ganzen Gebiet voraussetzt).
Stetige Fortsetzbarkeit reicht auch.
1. Wenn f(z) stetig im gesamten Sterngebiet D ist, reicht es, dass f(z) holomorph in $D\backslash \{a\}$ für ein Sternzentrum a ist.
2. Folgende Überlegung: wir betrachten die zwei Funktionen:
a) $ f_1(z) = \bruch{\sin z}{z} $ für $z\in \IC\backslash \{0\} $
b) $f_2(z) = \begin{cases} f_1(z),& z\not=0} \\ 1, &z=0 \end{cases} $
$f_2(z)$ ist die stetige Fortsetzung von $f_1(z)$ und außerdem holomorph in ganz $\IC$.
Auf dem Kreisrand stimmen $f_1(z)$ und $f_2(z)$ überein, daher ist stimmen auch die Kurvenintegrale entland des Kreisrandes überein.
> Noch schlimmer wird es dann bei der zweiten Teilaufgabe:
> exp(z) / z soll entlang desselben Weges integriert werden -
> da ich den Residuensatz und die Chauchyformel nicht habe,
> (nur Goursat und Cauchy für Sterngebiete) hab ich bisschen
> mit sinh und cosh umgeformt aber bislang noch keine Lösung.
> Wie mach ich das denn?? Ich weiß dass 2pi*i rauskommen
> soll, aber das wäre ja dasselbe wie nur 1/z integriert?!?
Genau! Der Trick ist
[mm] \bruch{e^z}{z} = \bruch{e^z-1}{z} + \bruch{1}{z} [/mm].
> Wäre sehr froh, wenn mir da jemand einen Hinweis geben
> könnte! Vielen Dank im Voraus!
Hier hilft es, wenn du dir mal die Reihenentwicklung des Integranden anschaust, zum Beispiel:
[mm] \bruch{e^z}{z} = \bruch{1}{z} \summe_{n=0}^\infty \bruch{z^n}{n!} = \bruch{1}{z} + \summe_{n=1}^\infty \bruch{z^{n-1}}{n!} [/mm]
Die Summe ganz rechts ist eine Taylorreihe und daher holomorph, also ist
[mm] \bruch{e^z}{z} - \bruch{1}{z} [/mm]
stetig in 0 fortsetzbar.
Viele Grüße
Rainer
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Danke, der Trick ist ja sehr gemein  !
Ich hatte zu dieser Frage meine Frage gestellt, da es um dasselbe ging eigtl... Aber werd ich nächstes Mal beherzigen.
Eine Frage hätte ich noch: wie komm ich dann aber auf das 2pi*i?
Lg FilleDeDanann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:06 Mo 23.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke, der Trick ist ja sehr gemein !
> Ich hatte zu dieser Frage meine Frage gestellt, da es um
> dasselbe ging eigtl... Aber werd ich nächstes Mal
> beherzigen.
> Eine Frage hätte ich noch: wie komm ich dann aber auf das
> 2pi*i?
Mit dem Trick musst du ja nur noch das Integral
[mm] \oint_{|z|=r} \bruch{dz}{z} [/mm]
ausrechnen. Du wählst eine geeignete Parametrisierung wählen, zum Beispiel [mm] $z=re^{i\varphi}$:
[/mm]
[mm] \oint_{|z|=r} \bruch{dz}{z} = \integral_{0}^{2\pi} \bruch{ire^{i\varphi}}{e^{i\varphi}}d\varphi= 2\pi i r[/mm],
Viele Grüße
Rainer
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Danke, das wär nicht nötig gewesen - soweit wusste ich das schon mit dem Wegintegral. Hab nur nicht ganz überrissen gehabt, dass der erste Summand durch den Trick ja zu einer holomorphen Funktion wird (die auch noch stetig (fortsetzbar) ist) und daher das Integral Null sein muss und 0 + 2pi*i ist immernoch 2pi*i :-D!
Ich danke wirklich sehr für die schnelle Antwort - hätte nicht damit gerechnet!!
Lg FilleDeDanann
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