Integral ln(x)/x < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich soll zeigen, dass [mm] \integral_{e^{1-a}}^{\infty} [/mm] { [mm] \bruch{a+ln(x)}{x} [/mm] dx} unabghängig von a ist! Dazu muss ich doch die Funktion integrieren oder!?
Als erstes habe ich das Integral aufgeteilt in [mm] \integral_{e^{1-a}}^{\infty} [/mm] { [mm] \bruch{a}{x} [/mm] dx} + [mm] \integral_{e^{1-a}}^{\infty} [/mm] { [mm] \bruch{ln(x)}{x} [/mm] dx}. Das erste Integral hat die Stammfunktion [a*ln(x)] so weit so gut, aber wie siehts mit dem 2. Integral aus? Ich habs mit der Substitutionsregel versucht, weil x^-1 die Ableitung von ln(x) ist, aber es klappt nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Danke. Das hätte ich soweit
[mm] \integral_{e^{1-a}}^{\infty} [/mm] { [mm] \bruch{ln(x)}{x} [/mm] dx} = [mm] \integral_{ln(e^{1-a})}^{ln(\infty)} [/mm] {x dx}
aber wie zeige ich nun, dass a unabhängig von
[mm] \integral_{e^{1-a}}^{\infty} {\bruch{a}{x} dx} [/mm] + [mm] \integral_{ln(e^{1-a})}^{ln(\infty)} [/mm] {x dx}
ist. Was ist [mm] ln(\infty)?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Bei Deinem Aufgabentyp spricht man von sog. uneigentlichen Integralen.
Diese löst man, indem man folgendermaßen vorgeht (Grenzwertbetrachtung):
[mm] $\integral_{a}^{\infty} [/mm] {f(x) \ dx} \ = \ [mm] \limes_{K\rightarrow\infty}\integral_{a}^{K} [/mm] {f(x) \ dx}$
> aber wie zeige ich nun, dass a unabhängig von
>
> [mm]\integral_{e^{1-a}}^{\infty} {\bruch{a}{x} dx}[/mm] + [mm]\integral_{ln(e^{1-a})}^{ln(\infty)}[/mm] {x dx}
>
> ist. Was ist [mm]ln(\infty)?[/mm]
Auch der [mm] $\ln(x)$ [/mm] geht für $x [mm] \to \infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
Um diese Problematik aber zu umgehen, empfehle ich hier lieber die Re-Substitution, da dann die Integrationsgrenzen gleich bleiben.
[mm] $\integral_{e^{1-a}}^{\infty}{\bruch{a}{x} + \bruch{\ln(x)}{x} \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{K\rightarrow\infty} \integral_{e^{1-a}}^{K}{\bruch{a}{x} + \bruch{\ln(x)}{x} \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{K\rightarrow\infty} \left[a*\ln(x) + \bruch{1}{2}*\ln^2(x)\right]_{e^{1-a}}^{K}$
[/mm]
Nun einfach die Grenzen einsetzen und die Grenzwertbetrachtung durchführen. Dieses Ergebnis für den Grenzwert sollte dann unabhängig von $a$ sein.
Gruß
Loddar
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Ganz genau ...
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
!!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Umwandlung der Integrationsgrenzen oder Re-Substitution nicht vergessen!
