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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Der Graph von [mm] f(x)=ln(1+e^{-x}) [/mm] und die positiven Halbachsen des Koordinatensystems begrenzen eine sich ins Unendliche erstreckende Fläche F , von der nun untersucht werden soll, ob sie endlichen Inhalt besitzt.
a) Betrachten Sie zunächst jene Teilfläche von F , die zwischen den zu x=0
und x=ln(n) , n [mm] \in [/mm] Ν und n ≠ 1, gehörende Ordinate liegt.
Welches Integral gibt den Inhalt [mm] J_{n} [/mm] dieser Teilfläche an?
Geben Sie nun für dieses Integral eine Obersumme [mm] S_{n} [/mm] an, indem Sie im Intervall
[0;ln] die Teilungspunkte ln 2, ln 3,..., ln (n −1) einführen und die entsprechenden Flächenteile durch umbeschriebene Rechtecke ersetzen. (Zeichnen Sie einige dieser Rechtecke in die Skizze ein!) |
Hallo^^
Ich habe einige Schweierigkeiten bei dieser Aufgabe und komme nicht mehr weiter.
Ich muss zunächst ein Integral angeben,nur kann ich mir noch nicht richtig vorstellen,wie diese Fläche aussieht.Ich habe sie mal gelb gestrichelt in der Zeichnung.In der Aufgabe steht,dass dies eine Teilfläche ist,aber wenn sie bei 0 beginnt und bis ln(n) geht erstreckt sie sich doch nos ins Unendliche oder nicht?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich würde das Integral für diese Fläche in 2 Teilintegrale aufteilen,das erste Integral von 0 bis zum Schnittpunkt von f(x) und g(x)=ln(x).Und das 2.Integral vom Schnittpunkt bis Unendlich.
Ich glaube aber nicht,das dass so stimmt.Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Mandy,
> Der Graph von [mm]f(x)=ln(1+e^{-x})[/mm] und die positiven
> Halbachsen des Koordinatensystems begrenzen eine sich ins
> Unendliche erstreckende Fläche F , von der nun untersucht
> werden soll, ob sie endlichen Inhalt besitzt.
>
> a) Betrachten Sie zunächst jene Teilfläche von F , die
> zwischen den zu x=0
> und x=ln(n) , n [mm]\in[/mm] Ν und n ≠ 1, gehörende Ordinate
> liegt.
> Welches Integral gibt den Inhalt [mm]J_{n}[/mm] dieser Teilfläche
> an?
> Geben Sie nun für dieses Integral eine Obersumme [mm]S_{n}[/mm]
> an, indem Sie im Intervall
> [0;ln] die Teilungspunkte ln 2, ln 3,..., ln (n −1)
> einführen und die entsprechenden Flächenteile durch
> umbeschriebene Rechtecke ersetzen. (Zeichnen Sie einige
> dieser Rechtecke in die Skizze ein!)
Das sieht nicht einfach aus...
Es ist womöglich sogar noch eine Ecke schwieriger als du dir gedacht hast...
So wie ich das verstehe, sollst du das Integral nicht im "herkömmlichen" Sinne berechnen, dass du über die x-Achse integrierst.
Denn es ist angegeben: "Betrachten Sie zunächst jene Teilfläche von F, die zwischen den zu x = 0 und x = [mm] \ln(n, n\in\IN [/mm] gehörenden Ordinaten liegt.
Das bedeutet: Du berechnest [mm] y_{1} [/mm] = f(0) = [mm] \ln(2) [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] = [mm] f(\ln(n)) [/mm] = [mm] \ln\left(1+\frac{1}{n}\right), [/mm] und es geht jetzt darum, die Fläche von F, die zwischen diesen beiden waagerecht verlaufenden Geraden liegt, zu berechnen.
Dafür musst du dir nun erstmal überlegen (du willst ja wieder in x-Richtung integrieren), wie du das Flächenstück, dass sich so ergibt, mit einem Integral ausrechnen könntest.
Bilde dazu die Umkehrfunktion von f(x) --> g(y). Nun ist die Aufgabe praktisch wieder, von [mm] y_{2} [/mm] bis [mm] y_{1} [/mm] über g(y) zu integrieren.
Dieses Integral [mm] J_{n} [/mm] sollst du nun erstmal aufschreiben.
Dann kommst du vielleicht selbst weiter mit Bilden der Obersumme.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Do 07.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Das sieht nicht einfach aus...
> Es ist womöglich sogar noch eine Ecke schwieriger als du
> dir gedacht hast...
>
> So wie ich das verstehe, sollst du das Integral nicht im
> "herkömmlichen" Sinne berechnen, dass du über die x-Achse
> integrierst.
> Denn es ist angegeben: "Betrachten Sie zunächst jene
> Teilfläche von F, die zwischen den zu x = 0 und x = [mm]\ln(n, n\in\IN[/mm]
> gehörenden Ordinaten liegt.
> Das bedeutet: Du berechnest [mm]y_{1}[/mm] = f(0) = [mm]\ln(2)[/mm] und
> [mm]y_{2}[/mm] = [mm]f(\ln(n))[/mm] = [mm]\ln\left(1+\frac{1}{n}\right),[/mm] und es
> geht jetzt darum, die Fläche von F, die zwischen diesen
> beiden waagerecht verlaufenden Geraden liegt, zu
> berechnen.
OK,ich habs mal versucht,aber [mm]\ln\left(1+\frac{1}{n}\right),[/mm] ist überhaupt keine waagerechte Tangente,denn ich hab es mal mit einem Programm gezeichnet und das zeigt den grünen Graphen dafür???
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Dafür musst du dir nun erstmal überlegen (du willst ja
> wieder in x-Richtung integrieren), wie du das
> Flächenstück, dass sich so ergibt, mit einem Integral
> ausrechnen könntest.
> Bilde dazu die Umkehrfunktion von f(x) --> g(y). Nun ist
> die Aufgabe praktisch wieder, von [mm]y_{2}[/mm] bis [mm]y_{1}[/mm] über
> g(y) zu integrieren.
Ich hab mal versucht,die Umkehrfunktion zu bilden,aber ich komme nicht mehr weiter.Hier mein Ansatz:
[mm] y=ln(1+e^{-x})
[/mm]
Ich muss ja jetzt nach x auflösen:
[mm] e^{y}=1+e^{-x}
[/mm]
Ich hab jetzt shcon einiges versucht,aber ich komme immer wieder zurück auf diesen Ansatz und kriege diese Gleichung einfach nicht nach x aufgelöst?
lg
>Dieses Integral [mm]J_{n}[/mm] sollst du nun erstmal aufschreiben.
>
> Dann kommst du vielleicht selbst weiter mit Bilden der
> Obersumme.
>
> Grüße,
> Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Do 07.01.2010 | | Autor: | abakus |
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> > Das sieht nicht einfach aus...
> > Es ist womöglich sogar noch eine Ecke schwieriger als
> du
> > dir gedacht hast...
> >
> > So wie ich das verstehe, sollst du das Integral nicht im
> > "herkömmlichen" Sinne berechnen, dass du über die x-Achse
> > integrierst.
> > Denn es ist angegeben: "Betrachten Sie zunächst jene
> > Teilfläche von F, die zwischen den zu x = 0 und x = [mm]\ln(n, n\in\IN[/mm]
> > gehörenden Ordinaten liegt.
> > Das bedeutet: Du berechnest [mm]y_{1}[/mm] = f(0) = [mm]\ln(2)[/mm] und
> > [mm]y_{2}[/mm] = [mm]f(\ln(n))[/mm] = [mm]\ln\left(1+\frac{1}{n}\right),[/mm] und es
> > geht jetzt darum, die Fläche von F, die zwischen diesen
> > beiden waagerecht verlaufenden Geraden liegt, zu
> > berechnen.
>
> OK,ich habs mal versucht,aber
> [mm]\ln\left(1+\frac{1}{n}\right),[/mm] ist überhaupt keine
> waagerechte Tangente,denn ich hab es mal mit einem Programm
> gezeichnet und das zeigt den grünen Graphen dafür???
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> > Dafür musst du dir nun erstmal überlegen (du willst ja
> > wieder in x-Richtung integrieren), wie du das
> > Flächenstück, dass sich so ergibt, mit einem Integral
> > ausrechnen könntest.
> > Bilde dazu die Umkehrfunktion von f(x) --> g(y). Nun ist
> > die Aufgabe praktisch wieder, von [mm]y_{2}[/mm] bis [mm]y_{1}[/mm] über
> > g(y) zu integrieren.
>
> Ich hab mal versucht,die Umkehrfunktion zu bilden,aber ich
> komme nicht mehr weiter.Hier mein Ansatz:
>
> [mm]y=ln(1+e^{-x})[/mm]
> Ich muss ja jetzt nach x auflösen:
>
> [mm]e^{y}=1+e^{-x}[/mm]
> Ich hab jetzt shcon einiges versucht,aber ich komme immer
> wieder zurück auf diesen Ansatz und kriege diese Gleichung
> einfach nicht nach x aufgelöst?
Hallo,
beide Seiten minus 1, dann den "ln" bilden.
Gruß Abakus
>
> lg
> >Dieses Integral [mm]J_{n}[/mm] sollst du nun erstmal
> aufschreiben.
> >
> > Dann kommst du vielleicht selbst weiter mit Bilden der
> > Obersumme.
> >
> > Grüße,
> > Stefan
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 07.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
> beide Seiten minus 1, dann den "ln" bilden.
> Gruß Abakus
> >
Achso ok,dann ist die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}(x)=-ln(e^{x}-1).
[/mm]
Das hab ich jetzt,aber ich versteh immer noch nicht,wie [mm] ln(1+\bruch{1}{n}) [/mm] eine waagerechte Tangente sein kann?
Kann mir das bitte jemand erklären und wo gneau liegt dann diese waagerechte Tangente?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 07.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Der Term [mm] $\ln\left(1+\bruch{1}{n}\right)$ [/mm] ist unabhängig von der Variablen $x_$ und damit eine Konstante.
Gruß
Loddar
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Hallo Mandy,
> > ... und es
> > geht jetzt darum, die Fläche von F, die zwischen diesen
> > beiden waagerecht verlaufenden Geraden liegt, zu
> > berechnen.
>
> OK,ich habs mal versucht,aber
> [mm]\ln\left(1+\frac{1}{n}\right),[/mm] ist überhaupt keine
> waagerechte Tangente,denn ich hab es mal mit einem Programm
> gezeichnet und das zeigt den grünen Graphen dafür???
Hier irrst du dich. n ist doch eine Konstante, es wird am Anfang der ganzen Prozedur fest gewählt. (n = Anzahl der Stützstellen).
Wenn zum Beispiel n = 1, so erhältst du also Gerade y = [mm] \ln(2).
[/mm]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 07.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> > > ... und es
> > > geht jetzt darum, die Fläche von F, die zwischen diesen
> > > beiden waagerecht verlaufenden Geraden liegt, zu
> > > berechnen.
> >
> > OK,ich habs mal versucht,aber
> > [mm]\ln\left(1+\frac{1}{n}\right),[/mm] ist überhaupt keine
> > waagerechte Tangente,denn ich hab es mal mit einem Programm
> > gezeichnet und das zeigt den grünen Graphen dafür???
>
> Hier irrst du dich. n ist doch eine Konstante, es wird am
> Anfang der ganzen Prozedur fest gewählt. (n = Anzahl der
> Stützstellen).
>
> Wenn zum Beispiel n = 1, so erhältst du also Gerade y =
> [mm]\ln(2).[/mm]
Ok,sieht das zu berechnende Integra dann so aus : [mm] J_{n}=-1*\integral_{ln(2)}^{ln(1+\bruch{1}{n})}{ln(e^{x}-1) dx} [/mm] ?
Dann kommt aber schon das nächste Problem,ich hab keine Ahnung und kenne auch keine Integrationsregel,wie man von socl einer ln-Funktion die Stammfunktion ermittelt?
(Die Aufgabe ist viel zu schwer....)
lg
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Mandy,
> Ok,sieht das zu berechnende Integra dann so aus :
> [mm]J_{n}=-1*\integral_{ln(2)}^{ln(1+\bruch{1}{n})}{ln(e^{x}-1) dx}[/mm]
> ?
Das scheint so richtig zu sein.
Allerdings glaube ich, dass ich da die Aufgabenstellung falsch verstanden habe (bzw. sie war missverständlich gestellt), so dass du doch keine Umkehrfunktion etc. bilden musst; denn der nun gegebene Hinweis, man solle Stützstellen [mm] \ln(2), [/mm] ..., [mm] \ln(n-1) [/mm] einführen, macht bei obigem Integral gar keinen Sinn.
(--> Für weitere Überlegungen benutzt du also das "normale" Integral für die x-Achse:
[mm] \int_{0}^{\ln(n)}f(x) [/mm] dx.
--> Siehe abakus's Antwort.
Da wären wir auch beim Thema: Du sollst das Integral nicht berechnen (vielleicht ist das gar nicht so einfach möglich), sondern du sollst es mit der Obersumme abschätzen! Du weißt, dass die Obersumme immer größer als das Integral ist; wenn also die Obersumme für [mm] n\to\infty [/mm] endlich ist, ist es auch das Integral.
Grüße,
Stefan
PS.: Keine Angst, solche Aufgaben kommen im Abi nicht dran 
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:08 Do 07.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Hallo Mandy,
>
> > Der Graph von [mm]f(x)=ln(1+e^{-x})[/mm] und die positiven
> > Halbachsen des Koordinatensystems begrenzen eine sich ins
> > Unendliche erstreckende Fläche F , von der nun untersucht
> > werden soll, ob sie endlichen Inhalt besitzt.
> >
> > a) Betrachten Sie zunächst jene Teilfläche von F , die
> > zwischen den zu x=0
> > und x=ln(n) , n [mm]\in[/mm] Ν und n ≠ 1, gehörende Ordinate
> > liegt.
> > Welches Integral gibt den Inhalt [mm]J_{n}[/mm] dieser
> Teilfläche
> > an?
> > Geben Sie nun für dieses Integral eine Obersumme [mm]S_{n}[/mm]
> > an, indem Sie im Intervall
> > [0;ln] die Teilungspunkte ln 2, ln 3,..., ln (n −1)
> > einführen und die entsprechenden Flächenteile durch
> > umbeschriebene Rechtecke ersetzen. (Zeichnen Sie einige
> > dieser Rechtecke in die Skizze ein!)
>
> Das sieht nicht einfach aus...
> Es ist womöglich sogar noch eine Ecke schwieriger als du
> dir gedacht hast...
>
> So wie ich das verstehe, sollst du das Integral nicht im
> "herkömmlichen" Sinne berechnen, dass du über die x-Achse
> integrierst.
> Denn es ist angegeben: "Betrachten Sie zunächst jene
> Teilfläche von F, die zwischen den zu x = 0 und x = [mm]\ln(n, n\in\IN[/mm]
> gehörenden Ordinaten liegt.
> Das bedeutet: Du berechnest [mm]y_{1}[/mm] = f(0) = [mm]\ln(2)[/mm] und
> [mm]y_{2}[/mm] = [mm]f(\ln(n))[/mm] = [mm]\ln\left(1+\frac{1}{n}\right),[/mm] und es
> geht jetzt darum, die Fläche von F, die zwischen diesen
> beiden waagerecht verlaufenden Geraden liegt, zu
> berechnen.
Nein, da steht "Ordinaten" und nicht "Abszissen". Es sind also senkrechte Geraden.
Die Idee ist dabei, zunächst einmal ein endliches Stück Fläche anzuschauen (das ist [mm] $J_n$), [/mm] dann nach oben abzuschätzen (deswegen Obersumme), und schließlich zu zeigen, dass diese obere Schranke für [mm] $n\to\infty$ [/mm] endlich ist, woraus folgt, dass auch die Fläche endlich sein muss.
Also betrachtet man erst einmal das Integral der Funktion zwischen den beiden senkrechten Geraden $x=0$ und [mm] $x=\ln [/mm] n$, also
[mm] J_n = \integral_{0}^{\ln n} \ln(1+e^{-x}) dx [/mm]
Dieses Integral ist elementar nicht darstellbar (es führt auf den sogenannten Dilogarithmus).
Viele Grüße
Rainer
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Ok, habe mich ja unten schon dazu "geoutet"...
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 07.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Der Graph von [mm]f(x)=ln(1+e^{-x})[/mm] und die positiven
> Halbachsen des Koordinatensystems begrenzen eine sich ins
> Unendliche erstreckende Fläche F , von der nun untersucht
> werden soll, ob sie endlichen Inhalt besitzt.
>
> a) Betrachten Sie zunächst jene Teilfläche von F , die
> zwischen den zu x=0
> und x=ln(n) , n [mm]\in[/mm] Ν und n ≠ 1, gehörende Ordinate
> liegt.
> Welches Integral gibt den Inhalt [mm]J_{n}[/mm] dieser Teilfläche
> an?
> Geben Sie nun für dieses Integral eine Obersumme [mm]S_{n}[/mm]
> an, indem Sie im Intervall
> [0;ln] die Teilungspunkte ln 2, ln 3,..., ln (n −1)
> einführen und die entsprechenden Flächenteile durch
> umbeschriebene Rechtecke ersetzen. (Zeichnen Sie einige
> dieser Rechtecke in die Skizze ein!)
> Hallo^^
>
> Ich habe einige Schweierigkeiten bei dieser Aufgabe und
> komme nicht mehr weiter.
>
> Ich muss zunächst ein Integral angeben,nur kann ich mir
> noch nicht richtig vorstellen,wie diese Fläche
> aussieht.Ich habe sie mal gelb gestrichelt in der
> Zeichnung.In der Aufgabe steht,dass dies eine Teilfläche
> ist,aber wenn sie bei 0 beginnt und bis ln(n) geht
> erstreckt sie sich doch nos ins Unendliche oder nicht?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich würde das Integral für diese Fläche in 2
> Teilintegrale aufteilen,das erste Integral von 0 bis zum
> Schnittpunkt von f(x) und g(x)=ln(x).Und das 2.Integral vom
> Schnittpunkt bis Unendlich.
> Ich glaube aber nicht,das dass so stimmt.Kann mir bitte
> jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank
> lg
Hallo,
ich habe mal eine Skizze mit den ersten 3 Untersummen gemacht.
Die Rechtecke gehen (in der Breite) wie verlangt von 0 bis ln 2, von ln 2 bis ln 3 und von ln 3 bis ln 4 (und in gleicher Weise müssten weitere Rechtecke folgen).
Die Höhe jedes Rechteckst entspricht dem Funktionswert am linken Rand des Rechtecks:
[mm] ln(1+e^{-0}, ln(1+e^{-ln(2)}, ln(1+e^{-ln(3)}.
[/mm]
Diese 3 Höhen sind vereinfacht
ln 2, ln [mm] \bruch{3}{2} [/mm] bzw. ln [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Höhen entsprechen übrigens auch den Breiten des Rechtecks, weil beispielsweise die Breite (ln 3 - ln 2) nach Logarithmengesetzen ln [mm] \bruch{3}{2} [/mm] entspricht.
Damit sind die einzelnen Rechtecke der Obersumme eigentlich Quadrate; die Summe der ersten drei Quadratflächen ist somit
(ln [mm] 2)^2+ [/mm] (ln [mm] \bruch{3}{2})^2+(ln \bruch{4}{3})^2.
[/mm]
Die Summe aller Teilflächen ist somit
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(ln\bruch{n+1}{n})^2 [/mm] .
PS: Ich weiß, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n})^2 [/mm] konvergiert.
Vielleicht kann man das ja in diese Richtung abschätzen.
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 07.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich habe mal eine Skizze mit den ersten 3 Untersummen
> gemacht.
> Die Rechtecke gehen (in der Breite) wie verlangt von 0 bis
> ln 2, von ln 2 bis ln 3 und von ln 3 bis ln 4 (und in
> gleicher Weise müssten weitere Rechtecke folgen).
> Die Höhe jedes Rechteckst entspricht dem Funktionswert am
> linken Rand des Rechtecks:
> [mm]ln(1+e^{-0}, ln(1+e^{-ln(2)}, ln(1+e^{-ln(3)}.[/mm]
> Diese 3
> Höhen sind vereinfacht
> ln 2, ln [mm]\bruch{3}{2}[/mm] bzw. ln [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Diese Höhen entsprechen übrigens auch den Breiten des
> Rechtecks, weil beispielsweise die Breite (ln 3 - ln 2)
> nach Logarithmengesetzen ln [mm]\bruch{3}{2}[/mm] entspricht.
> Damit sind die einzelnen Rechtecke der Obersumme
> eigentlich Quadrate; die Summe der ersten drei
> Quadratflächen ist somit
> (ln [mm]2)^2+[/mm] (ln [mm]\bruch{3}{2})^2+(ln \bruch{4}{3})^2.[/mm]
> Die
> Summe aller Teilflächen ist somit
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(ln\bruch{n+1}{n})^2[/mm] .
> PS: Ich weiß, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n})^2[/mm]
> konvergiert.
> Vielleicht kann man das ja in diese Richtung abschätzen.
> Gruß Abakus
Ich bin es noch einmal.
Das geht!
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}(ln\bruch{n+1}{n})^2\le\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n})^2[/mm] [mm] \gdw ln\bruch{n+1}{n} \le \bruch{1}{n} \gdw \bruch{n+1}{n}\le e^{\bruch{1}{n}} \gdw (\bruch{n+1}{n})^n\le e^{1} [/mm] .
Und e kann schließlich definiert werden als Grenzwert der wachsenden Folge [mm] (\bruch{n+1}{n})^n...
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Do 07.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hat sich erledigt,ich hatte den rechten Rand der Funktion genommen.
lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 07.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Diese Höhen entsprechen übrigens auch den Breiten des
> Rechtecks, weil beispielsweise die Breite (ln 3 - ln 2)
> nach Logarithmengesetzen ln [mm]\bruch{3}{2}[/mm] entspricht.
> Damit sind die einzelnen Rechtecke der Obersumme
> eigentlich Quadrate; die Summe der ersten drei
> Quadratflächen ist somit
> (ln [mm]2)^2+[/mm] (ln [mm]\bruch{3}{2})^2+(ln \bruch{4}{3})^2.[/mm]
> Die
> Summe aller Teilflächen ist somit
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(ln\bruch{n+1}{n})^2[/mm] .
Ok,ich weiß jetzt schon mal,dass es Quadrate sind.Wie kommt man jetzt auf [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(ln\bruch{n+1}{n})^2[/mm]? Müsste für [mm] \infty [/mm] eigentlich nicht (n-1) stehen? Und wie kommt man auf den Ausdruck [mm] (ln\bruch{n+1}{n})^2 [/mm] ?
lg
> PS: Ich weiß, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n})^2[/mm]
> konvergiert.
> Vielleicht kann man das ja in diese Richtung abschätzen.
> Gruß Abakus
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Do 07.01.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo.
es handelt sich um Quadrate von Logarithmen,
deshalb (ln [mm] ...)^2.
[/mm]
In den Logarithmen stehen Brüche (auch 2 ist ein Bruch, nämlich 2/1).
Meine drei Brüche (2/1, 3/2 und 4/3) haben die gemeinsame Eigenschaft, dass der Zähler um 1 größer ist als der Nenner. Deshalb stelle ich die Brüche in der Form (n+1)/n dar.
Dabei ist der Nenner des kleisten Bruches 1, deshalb steht unter dem Summenzeichen n=1.
Die Integralfläche reicht nach rechts bis ins Unendliche, deshalb endet die Addition dieser (immer kleiner werdenden) Quadratflächen nie. Es sind ja nicht nur die drei Flächen, die ich als Beispiel eingezeichnet habe.
Gruß Abakus
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