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Hallo!
Ich habe hier ein zwei Integrale und die Lösung weiss aber nicht, wie man auf die Lösung kommt. Weiss nicht, wie man komplex integriert!
Kann mir da einer helfen?
1.)
[mm] \bruch{1}{ 2\pi}\integral_{ -\infty}^{ \infty} {e^(\bruch{-u^2}{4h^2})e^(ixu)) du}
[/mm]
Die Lösung ist:
[mm] \bruch{h}{ \wurzel{ \pi}}e^{-h^2x^2}
[/mm]
2.)
[mm] \bruch{h}{ \wurzel{ \pi}} \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^(-h^2x^2)e^(ux) dx}
[/mm]
Lösung:
e^( [mm] \bruch{u^2}{ 4h^2})
[/mm]
wär super, wenn ihr mir helfen könnt!
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mi 23.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
in diesem fall ist das nicht allzuschwer, da du nur relle argumenete hast, da du über die reelle achse integrierst. formal ist das integral einer komplexwertigen funktion [m] f (x) = u(x) + iv(x) [/m] ($u(x), v(x) [mm] \in \mathbb{R}$) [/mm] reller argumente definiert als
[m] \int_a^b f(x) \, \textrm{d}x := \int_a^b u(x) \, \textrm{d}x + i \int_a^b v(x) \, \textrm{d}x [/m],
das braucht dich hier aber nicht weiter zu kümmern, da du rechnen kannst wie mit reellen funktionen. ich rechnen das erste integral mal vor, das zweite kannst du dann mal selber probieren.
man erhält mit der multiplikativität der exponentialfunktion [m] \exp(a) \exp (b) = \exp(a + b) [/m] und nach quadratischer ergänzung:
[m] \frac{1}{ 2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp \left( - \frac{u^2}{4h^2} \right) \exp \left( ixu \right) \, \textrm{d}u [/m]
[m] = \frac{1}{ 2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp \left( - \frac{u^2}{4h^2}+ ixu \right) \, \textrm{d}u [/m]
[m] = \frac{1}{ 2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp \left( - \left( \frac{u^2}{4h^2}- ixu -x^2h^2 \right) - x^2h^2 \right) \, \textrm{d}u [/m]
[m] = \frac{1}{ 2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp \left( - \left( \frac{u}{2h} - ixh \right)^2 - x^2h^2 \right) \, \textrm{d}u [/m]
substituiert man nun [m] \omega = \frac{u}{2h} - ixh [/m] dann geht das integral wegen [m] \textrm{d}u = 2h \, \textrm{d} \omega [/m] über in
[m] = \frac{1}{ 2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp \left( - \omega^2 - x^2h^2 \right) 2h \, \textrm{d} \omega [/m]
wendet man wieder die multiplikativität der [mm] $\exp$-funktion [/mm] an, zieht konstante faktoren aus dem integral und kürzt, so erhält man:
[m] = \frac{h\exp \left(-x^2h^2 \right)}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp \left( - \omega^2 \right) \, \textrm{d} \omega [/m]
wendet man nun noch das bekannte (?) resultat an, dass
[m] \int_{- \infty}^\infty \textrm{e}^{- x^2} \, \textrm{d}x = \sqrt{\pi} [/m],
so erhält man das gewünschte resultat.
ich hoffe das ist verständlich, wenn nicht frage einfach nach. probier mal das zweite integral zu lösen, das geht grundsätzlich mit der selben methode und melde dich dann mit dem lösungsweg nochmal.
grüße
andreas
edit: vorzeichenfehler verbessert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Mi 23.03.2005 | | Autor: | tinamol21 |
hallo Andreas,
danke dir schon mal. habe deinen weg verstanden und bin super glücklich für die schnelle antwort.
Allerdings noch eine kleine sache:
Nachdem du quadratisch ergänzt, schreibst du diese zeile:
[mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^{ (\bruch{-u}{2h}+ixh)^2-x^2h^2}du}
[/mm]
Muss aber da doch [mm] i^2 [/mm] =-1 ist im Exponenten nich ein Minus sein? also sozusagen der zweite Binom im Exponenten? Falls ja, dürfte es doch trotzdem keine große auswirkung für den weiteren verlauf haben,oder?
wär schön,wenn du mir kurz antwortest :)
ich versuche mich jetzt mal an der zweiten aufgabe! hoffe ich krieg ihn hin. werde ihn auf jeden fall reinsetzen, sobald ich ihn hingekriegt hab!
bis nachher,
Tina
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Do 24.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi Tina
> Allerdings noch eine kleine sache:
> Nachdem du quadratisch ergänzt, schreibst du diese
> zeile:
> [mm]\bruch{1}{2 \pi} \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^{ (\bruch{-u}{2h}+ixh)^2-x^2h^2}du}
[/mm]
>
> Muss aber da doch [mm]i^2[/mm] =-1 ist im Exponenten nich ein Minus
> sein? also sozusagen der zweite Binom im Exponenten? Falls
> ja, dürfte es doch trotzdem keine große auswirkung für den
> weiteren verlauf haben,oder?
du hast natürlich recht. hab's verbessert.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Mi 23.03.2005 | | Autor: | tinamol21 |
Hallo,
hier ist meine Lösung für Aufgabe 2:
[mm] $\bruch{h}{\wurzel{ \pi}} \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^{(-h^2x^2+ux)} dx}= \bruch{h}{\wurzel{ \pi}} \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^{-(hx- \bruch{u}{2h})^2+ (\bruch{u}{2h})^2} dx}$
[/mm]
Substitution: $w=hx- [mm] \bruch{u}{2h}$ [/mm] dann geht das Integral wegen
$dx= [mm] \bruch{1}{h}dw$
[/mm]
über in:
[mm] $\bruch{h}{\wurzel{ \pi}} \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^{(-w^2+ \bruch{u^2}{4h^2})} \bruch{1}{h}dw}= \bruch{h}{\wurzel{ \pi}} \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^{(-w^2)}*e^{\bruch{u^2}{4h^2}}*\bruch{1}{h}dw}$
[/mm]
Konstanten rausziehen liefert mir dann:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{ \pi}}e^\bruch{u^2}{4h^2} \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^{(-w^2)} dw}$
[/mm]
Da [mm] $\integral_{- \infty}^{ \infty} {e^{(-w^2)} dw}= \wurzel{ \pi}´$
[/mm]
folgt das gewollte!
hoffe es ist richtig!
ich danke dir schonmal im voraus!
Tina
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 24.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
sieht alles richtig aus.
grüße
andreas
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