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| Aufgabe | Drücken Sie das Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty} \wurzel{x}e^{-ax}dx, [/mm] a > 0,
mit Hilfe der [mm] \Gamma-Funktion [/mm] aus. |
Diese [mm] \Gamma-Funktion:
[/mm]
* Was ist das für eine Funktion?
* Was macht die?
* Wofür brauch ich die?
* Und was muss ich machen, damit ich daraus ne [mm] \Gamma-Funktion [/mm] bekomme ...
Im Skript steht leider nicht wirklich viel darüber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 So 05.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo john_rambo!
Siehe mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Substituiere $t \ := \ a*x$ . Was muss man dann für ein Argument der [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] einsetzen, um auf die gewünschte form zu kommen?
Gruß
Loddar
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Ok, jetzt hab ich das hier mal substituiert:
[mm] \integral_{0}^{\infty} \wurzel{x} [/mm] * [mm] e^{-t} [/mm] dt
und ich nehme an als Argument meinst du was ich anstelle x bei [mm] \Gamma(x) [/mm] einsetzen soll, oder? Aber ich hab da jetzt auch kein Plan was ich da einsetzen soll ... mir hilft auch die Beschreibung von Wikipedia nicht weiter :(
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Hallo john_rambo,
Du bist noch nicht fertig mit Substituieren!
> Ok, jetzt hab ich das hier mal substituiert:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty} \wurzel{x}[/mm] * [mm]e^{-t}[/mm] dt
[mm] \wurzel{x} [/mm] muss dabei natürlich auch ersetzt werden, und zumindest überlegen muss man noch, ob die Integrationsgrenzen sich nicht auch noch ändern.
Versuch doch erstmal, aus diesem Integral das x restlos zu entfernen, dann sehen wir weiter.
> und ich nehme an als Argument meinst du was ich anstelle x
> bei [mm]\Gamma(x)[/mm] einsetzen soll, oder? Aber ich hab da jetzt
> auch kein Plan was ich da einsetzen soll ... mir hilft auch
> die Beschreibung von Wikipedia nicht weiter :(
Tja, die Hauptverwirrung wird wohl das Auftreten von x in der Dir vorliegenden Funktion und in der Wikipedia sein - das ist nämlich nicht das gleiche x! Das Problem löst sich aber gleich in Luft auf, weil ja nach der vollständigen Substitution Dein Integral gar kein x mehr enthält.
Grüße
reverend
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Ok. Nächster Versuch:
[mm] \integral_{0}^{\infty} \wurzel{\bruch{t}{a}} e^{-t} [/mm] dt = [mm] \integral_{0}^{\infty} \wurzel{\bruch{1}{a}} \wurzel{t} e^{-t} [/mm] dt
Ich nehme an, das [mm] \wurzel{\bruch{1}{a}} [/mm] ist eine Konstante und die kann ich ohne Probleme vor das Integral setzen?
Warum sollten sich denn jetzt auch die Integralgrenzen ändern ?
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Hallo nochmal,
ja, viel besser.
> [mm]\integral_{0}^{\infty} \wurzel{\bruch{t}{a}} e^{-t}[/mm] dt=[mm]\integral_{0}^{\infty} \wurzel{\bruch{1}{a}} \wurzel{t} e^{-t}[/mm] dt
> Ich nehme an, das [mm]\wurzel{\bruch{1}{a}}[/mm] ist eine Konstante
> und die kann ich ohne Probleme vor das Integral setzen?
Ja, klar. Außerdem ist es hier hilfreich, [mm] \wurzel{t} [/mm] als [mm] t^{\bruch{1}{2}} [/mm] zu schreiben.
> Warum sollten sich denn jetzt auch die Integralgrenzen
> ändern ?
Weil sie sich normalerweise beim Substituieren mit verändern. Schlag das nochmal nach. Hier aber erübrigt sich das ausnahmsweise, weil hier die untere Grenze zu [mm] \bruch{0}{a} [/mm] und die obere zu [mm] \bruch{\infty}{a} [/mm] wird, sich also in beiden Fällen nichts ändert (ein häufiger Fall bei uneigentlichen Integralen).
So, und jetzt vergisst Du mal Dein bisheriges x und schaust nochmal die allererste Gleichung im Wikipedia-Artikel an.
Dein gegebenes Integral kannst Du nun durch einen Funktionswert der Gammafunktion angeben (mit einem zusätzlichen Faktor behaftet).
Grüße
reverend
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