Integral geteilter Funktionen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die Fkt. [mm] f:\IR\rightarrow\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\frac34(1-x^2)1_{[-1,1]}(x). [/mm] Zeigen Sie
a) dass f die Dichte eine Zufallsvariable X ist und bestimmen Sie
b) die Verteilungsfunktion F(x) von X |
Hallo, liebe User!
Als Lsg. der obigen Aufgabe (aus einer Stochastik-Klausur für Mathe-Lehramts-Studenten) ist weiter gegeben:
a) [...] [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int\limits_{-1}^{1}\frac34\cdot(1-x^2)dx=\frac34\cdot[x-\frac{x^3}{3}]_{-1}^{1}=1
[/mm]
b) [mm] F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x)dx=\frac34\cdot(x-\frac{x^3}{3})\cdot1_{[-1,1]}(x)+1_{]1,\infty[}(x)
[/mm]
Ich verstehe insbesondere die Lösung von b) nicht.
Mir ist klar, dass das im Prinzip nur nachrechnen von Definitionen ist. Ich scheitere aber leider immer wieder schon bei diesen Bsp. zu denen ich ja eine Musterlösung habe.
Kann mir jemand erklären, wann ich die Grenzen der Eins-Fkt. (manch einer mag sie auch als Chi-Fkt. kennen) in das Integral hereinziehe? Und wie kommt man konkret zu dem Ergebnis in b)?
Ich bin für jeden Tipp dankbar!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=171553&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D2%26ved%3D0CCoQFjAB
|
|
| |
|
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=171553&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D2%26ved%3D0CCoQFjAB
Das ist der richtige!
|
|
|
| |
|
Hallo muffinmaster23,
> Gegeben sei die Fkt. [mm]f:\IR\rightarrow\IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=\frac34(1-x^2)1_{[-1,1]}(x).[/mm] Zeigen Sie
> a) dass f die Dichte eine Zufallsvariable X ist und
> bestimmen Sie
> b) die Verteilungsfunktion F(x) von X
> Hallo, liebe User!
>
> Als Lsg. der obigen Aufgabe (aus einer Stochastik-Klausur
> für Mathe-Lehramts-Studenten) ist weiter gegeben:
>
> a) [...]
> [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int\limits_{-1}^{1}\frac34\cdot(1-x^2)dx=\frac34\cdot[x-\frac{x^3}{3}]_{-1}^{1}=1[/mm]
> b)
> [mm]F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x)dx=\frac34\cdot(x-\frac{x^3}{3})\cdot1_{[-1,1]}(x)+1_{]1,\infty[}(x)[/mm]
>
> Ich verstehe insbesondere die Lösung von b) nicht.
>
> Mir ist klar, dass das im Prinzip nur nachrechnen von
> Definitionen ist. Ich scheitere aber leider immer wieder
> schon bei diesen Bsp. zu denen ich ja eine Musterlösung
> habe.
>
> Kann mir jemand erklären, wann ich die Grenzen der
> Eins-Fkt. (manch einer mag sie auch als Chi-Fkt. kennen) in
> das Integral hereinziehe?
Naja, dein $f(x)$ ist doch nur auf dem Intervall $[-1,1]$ definiert und außerhalb Null.
Die teile, wo das Null ist, kannst du beim Integrieren vergessen.
Damit kannst du das Integral von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $\infty$ [/mm] auf ein Integral von -1 bis 1 begrenzen.
Selbiges bei [mm] $1_{(-1,1]}$ [/mm] oder [mm] $1_{(-1,1)}$, [/mm] also bei ein- oder beidseitig offenen Intervallenden.
> Und wie kommt man konkret zu dem
> Ergebnis in b)?
Steht das bei b) wirklich so da?
Das sollte doch [mm] $F(x)=\int\limits_{-\infty}^x{f(\red{t}) \ d\red t}$ [/mm] lauten ...
Nun, wie hängen denn Dichte und Verteilungsfunktion zusammen und was treibt eine VF für [mm] $x\to\infty$ [/mm] ?
>
> Ich bin für jeden Tipp dankbar!
Reicht das schon?
Gruß
schachuzipus
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=171553&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D2%26ved%3D0CCoQFjAB
|
|
|
| |
|
Nein leider nicht ;)
Also: Zu a) dachte ich mir das schon genauso, das (Verständnis-)Problem mit den Grenzen entsteht ja auch erst bei b).
Zu b) hast du mit f(t) natürlich Recht, das geht auf meine Kappe...
Aber: Eine Verteilungsfkt. ist
-monoton steigend (gilt hier wohl, pi mal Daumen, da will ich mich aber nicht dran aufhängen)
[mm] -\limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0
[/mm]
[mm] -\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1
[/mm]
Die Limites gelten also nach Definition. Das zeigt zumindest, dass das Ergebnis stimmt. Mir ist aber nicht klar, warum dass in diesem Fall so ist.
Muss ich die Werte kleiner -1 gar nicht prüfen und darf direkt annehmen, dass da nichts ist?
Und: Wie komme ich rechnerisch auf das Ergebnis? Eine Rechnung (zwei, vielleciht drei Zwischenschritte) wäre wirklich das Nonplusultra!
Aber danke erstmal, war zumindest ein guter Anstoß für mich.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Nein leider nicht ;)
schade 
>
> Also: Zu a) dachte ich mir das schon genauso, das
> (Verständnis-)Problem mit den Grenzen entsteht ja auch
> erst bei b).
> Zu b) hast du mit f(t) natürlich Recht, das geht auf
> meine Kappe...
> Aber: Eine Verteilungsfkt. ist
> -monoton steigend (gilt hier wohl, pi mal Daumen, da will
> ich mich aber nicht dran aufhängen)
Na, $F$ ist doch monoton wachsend, wenn die Ableitung $F'$, also $f$ größergleich null ist. Ist es das?
> [mm]-\limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0[/mm]
> [mm]-\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1[/mm] [ok9
Genau!
> Die Limites gelten also nach Definition. Das zeigt
> zumindest, dass das Ergebnis stimmt. Mir ist aber nicht
> klar, warum dass in diesem Fall so ist.
>
> Muss ich die Werte kleiner -1 gar nicht prüfen und darf
> direkt annehmen, dass da nichts ist?
Ja, die gesamte Masse der Dichte f ist auf dem Intervall [-1,1] konzentriert, außerhalb ist nix!
Wenn du f über [mm] $\IR$ [/mm] integrierst, muss 1 rauskommen, wenn f Dichte sein soll
Du kannst das Integral ja meinetwegen in 3 Integrale aufteilen:
[mm] $\int\limits_{\IR}{f(x) \ dx}=\int\limits_{-\infty}^{-1}{f(x) \ dx}+\int\limits_{-1}^1{f(x) \ dx}+\int\limits_{1}^{\infty}{f(x) \ dx}$
[/mm]
Bei den äußeren Integralen ist $f=0$, das liefert also nix. Nur der Mittelteil liefert 1 - passt also, f ist Dichte
Und die Stammfunktion $F$ von f ist Verteilungsfunktion, die beiden Limesbedingungen liefern dir am Ende das [mm] $+1_{(1,\infty)}$
[/mm]
Das sorgt insgesamt dafür, dass $F$ auf [mm] $(-\infty,-1)$ [/mm] =0 ist, auf $[-1,1]$ genau f ausintegriert (siehe Lösung) und rechts von 1, also auf [mm] $(1,\infty)$ [/mm] muss $F=1$ sein.
>
> Und: Wie komme ich rechnerisch auf das Ergebnis? Eine
> Rechnung (zwei, vielleciht drei Zwischenschritte) wäre
> wirklich das Nonplusultra!
Na, du weißt doch, wie man Polynome integriert?!
[mm] $\int{x^n \ dx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1} [/mm] \ (+c)$ für alle [mm] $n\neq [/mm] -1$
Gruß
schachuzipus
>
> Aber danke erstmal, war zumindest ein guter Anstoß für
> mich.
|
|
|
| |
|
Ich hab gerade (dummerweise) auf einmal selbst geschafft, die Sache rechnerisch hinzubiegen...
Aber super, dass du dir die Mühe gemacht hast, so konnte ich meine Rechnung wenigstens nochmal bestätigt sehen.
Zu meiner Entschuldigung möchte ich erwähnen, dass ich mich gerade im Schulpraktikum befinde und nebenbei noch für diese Klausur lernen darf und daher wohl ein wenig übermüdet bin.
Vielen Dank!
|
|
|
|
