Integral eines Bruches < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral von:
[mm] \integral{e^x *\bruch{sin^3(e^x)*(1+cos(e^x))}{cos^4(e^x)} dx} [/mm] |
Hallo,
habe zuerst einmal die Substitution [mm] u=e^x [/mm] durchgeführt und erhalte dann:
[mm] \integral{\bruch{sin^3(u)*(1+cos(u))}{cos^4(u)} du}
[/mm]
Jetzt hätte ich nochmal substituiert (darf man das im Allgemeinen?)
[mm] z=tan(\bruch{u}{2}) [/mm]
und erhalte dadurch:
[mm] \integral{\bruch{16z^3}{(z^4-1)^4} dz}
[/mm]
Nun wäre eine PBZ anzusetzen, die aber insgsesamt 8 Summanden besitzt, da der Nenner reelle sowohl als auch komplexe Nst besitzt.
Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg? Bzw. ginge es kürzer?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Di 21.06.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
1. du kannst so oft substituieren wie du willst.
die letzte subst. hab ich nicht nachgerechnet. wenn der letzte Bruch stimmt, berechne mal die Ableitung von [mm] (z^4-1)^{-3} [/mm] dann kennst du dein Integral , das die Form [mm] a*f'/f^4 [/mm] hat .
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Di 21.06.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo BunDemOut,
kannst du mal deine Substition mit [mm]z:=\tan\left(\frac{u}{2}\right)[/mm] vorrechnen? Ich komme da nämlich auf was anderes.
Lieben Gruß,
Fulla
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[mm] \integral{\bruch{\bruch{8z^3}{(1+z^2)^3} * \bruch{2}{1+z^2}}{\bruch{(1-z^2)^4}{(1+z^2)^4}} \bruch{2 dz}{1+z^2}}
[/mm]
= [mm] \integral{ \bruch{\bruch{16z^3}{(1+z^2)^4}}{\bruch{(1-z^2)^4}{(1+z^2)^4}} \bruch{2 dz}{1+z^2}}
[/mm]
= [mm] 2\integral {\bruch{16z^3}{(1+z^2)^4}* \bruch{(1+z^2)^4}{(1-z^2)^4}*\bruch{1}{(1+z^2)} dz}
[/mm]
[mm] =32\integral {\bruch{z^3}{(1-z^2)^4*(1+z^2)} dz}
[/mm]
Hatte also oben nen kleinen Fehler...
Trotzdem wird die PBZ extrem aufwändig, und für ne Prüfung eigentlich zu lang oder?
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> Hatte also oben nen kleinen Fehler...
> Trotzdem wird die PBZ extrem aufwändig, und für ne
> Prüfung eigentlich zu lang oder?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mir kommt's auch etwas länglich vor.
Habt Ihr in der Klausur Unterlagen dabei und könnt Integrale in einer Integraltafel nachschlagen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Di 21.06.2011 | | Autor: | BunDemOut |
jap, es sind alle Hilfsmittel außer Laptops/Handy/... zugelassen.
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> jap, es sind alle Hilfsmittel außer Laptops/Handy/...
> zugelassen.
Hallo,
das ist natürlich tückisch, denn normalerweise sind die Aufgaben in diesen Fällen schwieriger.
$ [mm] \integral{\bruch{sin^3(u)\cdot{}(1+cos(u))}{cos^4(u)} du} [/mm] $
kanst Du schreiben als
$ [mm] \integral{tan^3(u)\cdot{}(\bruch{1}{cos(u)}+1) du} [/mm] $,
und das Integral [mm] \integral{tan^3(u) du} [/mm] kannst Du direkt dem Bronstein o.ä. entnehmen.
Ich hab' den Bronstein gerade nicht zur Hand, aber möglicherweise steht sogar
[mm] \integral sin^n(u)*cos^m(u) [/mm] du drin für ganze Zahlen n,m.
Damit hättest Du es ja recht fix.
Gruß v. Angela
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Hallo BunDemOut,
> [mm]\integral{\bruch{\bruch{8z^3}{(1+z^2)^3} * \bruch{2}{1+z^2}}{\bruch{(1-z^2)^4}{(1+z^2)^4}} \bruch{2 dz}{1+z^2}}[/mm]
>
> = [mm]\integral{ \bruch{\bruch{16z^3}{(1+z^2)^4}}{\bruch{(1-z^2)^4}{(1+z^2)^4}} \bruch{2 dz}{1+z^2}}[/mm]
>
> = [mm]2\integral {\bruch{16z^3}{(1+z^2)^4}* \bruch{(1+z^2)^4}{(1-z^2)^4}*\bruch{1}{(1+z^2)} dz}[/mm]
>
> [mm]=32\integral {\bruch{z^3}{(1-z^2)^4*(1+z^2)} dz}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Hatte also oben nen kleinen Fehler...
> Trotzdem wird die PBZ extrem aufwändig, und für ne
> Prüfung eigentlich zu lang oder?
Ja.
Ersetze in dem Integral
[mm]\integral{\bruch{sin^3(u)\cdot{}(1+cos(u))}{cos^4(u)} du} [/mm]
[mm]\sin^{3}\left(u\right)[/mm] durch [mm]\sin\left(u\right)*\left(1-cos^{2}\left(u\right)\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Di 21.06.2011 | | Autor: | BunDemOut |
ok, werd ich versuchen :)
wenns nochmal Schwierigkeiten gibt, meld ich mich nochmal.
Danke :)
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