Integral einer Treppenfunktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R ein Ring über X mit [mm] \lambda. [/mm] Seine [mm] A_1,\hdots ,A_n\in [/mm] R und [mm] c_1,\hdots,c_n\in\mathbb{R} [/mm] bzw. [mm] B_1,\hdots ,B_m\in [/mm] R und [mm] d_1,\hdots, d_m\in\mathbb{R} [/mm] gegeben mit
[mm] \sum_{i=1}^nc_i1_{A_i}=\sum_{j=1}^md_j1_{B_j}
[/mm]
Zeigen Sie: für [mm] c_i,d_j\geq [/mm] 0 für [mm] i=0,\hdots [/mm] ,n und [mm] j=1,\hdots [/mm] ,m gilt
[mm] \sum_{i=1}^nc_i\lambda(A_i)=\sum_{j=1}^md_j\lambda(B_j)
[/mm]
1 ist die Charakteristische Fkt. |
Also verstehe ich das richtig? Die
[mm] s:=\sum_{i=1}^nc_i1_{A_i}=\sum_{j=1}^md_j1_{B_j}
[/mm]
sind die Treppenfunktionen. d.h. f.a. [mm] x\in [/mm] X gilt [mm] s(x)\sum_{i=1}^nc_i1_{A_i}(x)=\sum_{j=1}^md_j1_{B_j}(x) [/mm] (*)
Das heißt sie sind nur unterschiedliche Darstellungen einer Fkt. s.
Ob die [mm] c_i,d_j [/mm] jetzt nicht negativ sind oder sonst was, der Integralwert ist doch unabhängig von der Darstellung. Oder nicht?
Ich meine ich kann doch aus den [mm] c_i [/mm] alle "Duplikate" streichen. Das Resultat ist eine Teilfolge [mm] c_{i_k} [/mm] und alle Glieder sind paarweise verschieden.
jetzt sind [mm] \bigcup_{i:c_i=c_{i_k}} A_i [/mm] für alle k gerade die Stufenmengen [mm] \{s=c_{i_k}\}
[/mm]
Dann ist [mm] \sum_k c_{i_k} \lambda(\{s=c_{i_k}\}) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^nc_i\lambda(A_i)
[/mm]
Analog gilt [mm] \sum_l d_{j_l} \lambda(\{s=d_{j_l}\}) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^md_j\lambda(B_j)
[/mm]
Aber da (*) sind die Funktionswerte gleich und damit diese "Dublikatfreien" Folgen [mm] c_{i_k}, d_{j_l} [/mm] identisch.
Also gilt [mm] \sum_k c_{i_k} \lambda(\{s=c_{k_i}\}) [/mm] = [mm] \sum_l d_{j_l} \lambda(\{s=d_{j_l}\})
[/mm]
dann letztlich
[mm] \sum_{i=1}^nc_i\lambda(A_i)=\sum_{j=1}^md_j\lambda(B_j)
[/mm]
Wenn jetzt die [mm] c_i,d_j\leq [/mm] 0 sind, drehe ich den Spieß einfach um, das sollte o.E. doch gehen.
und wenn [mm] c_i<0, d_j>0 [/mm] dann kann ich mir nur ein Problem vorstellen, wenn der Inhalt unendlich ist. Aber gut, auch dann kommt der Fall [mm] \infty=-\infty [/mm] eigentlich nicht vor. Kann mir jemand die Problematik erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 28.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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