Integral cos³ (x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tim82 |
| Aufgabe | Lösen des Integral cos³ (x) dx
[Integrals cosinus hoch 3 (x) |
In einer Nebenrechnung bin ich auf ein Integral gestoßen was mir ein wenig Probleme macht...
Hab schon so einiges versucht, komme aber nicht auf die Lösung
Die Aufspaltung von cos³x = cos²x * cos x war eine Idee, part. Integration... mhh aber ich denke ich mache das etwas falsch...
Eine Lösung im Papula Band habe ich, aber ich möchte gern den Weg dazu wissen. Helft mir bitte ich hoffe das Ihr mir auch helfen könnt...!
gruß
tim
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:51 Di 09.05.2006 | | Autor: | Wolferl |
> Lösen des Integral cos³ (x) dx
> [Integrals cosinus hoch 3 (x)
> In einer Nebenrechnung bin ich auf ein Integral gestoßen
> was mir ein wenig Probleme macht...
>
> Hab schon so einiges versucht, komme aber nicht auf die
> Lösung
> Die Aufspaltung von cos³x = cos²x * cos x war eine Idee,
> part. Integration... mhh aber ich denke ich mache das etwas
> falsch...
>
Hallo Tim,
vielleicht machst Du gar nichts falsch. Es ist ein nettes kleines Integral ...
Ich habe auch erst einmal nachgeschlagen, um zu schauen, wie die Lösung aussieht. Der Weg dorthin geht so:
Zuerst den Ausdruck zerlegen (wie Du selbst schon getan hast):
[mm]\integral \cos^2 x \cos x dx[/mm]
Das lässt sich partiell integrieren mit [mm]u(x)=\cos^2 x[/mm], [mm]v'(x)=\cos x[/mm] und [mm]u'(x)=-2\cos x \sin x[/mm], [mm]v(x)=\sin x[/mm].
Damit Haben wir als partielles Integral:
[mm]\integral \cos^2 x \cos x dx = \sin x \cos^2 x + \integral 2 \cos x \sin^2 x dx[/mm]
Das neue Integral der partiellen Integration kann man jetzt mit einer Substitution lösen: [mm]u = \sin x [/mm].
[mm]u'(x) = \bruch{du}{dx} [/mm]. Damit gilt [mm]dx = \bruch{du}{u'} [/mm].
[mm]u' = \cos x [/mm]
Das neue Integral schreibt sich damit als [mm]2 \integral \cos x u^2 \bruch{du}{\cos x} = 2 \integral u^2 du = \bruch{2}{3} u^3[/mm].
Also haben wir jetzt:
[mm]\integral \cos^3 x dx = \sin x \cos^2 x + \bruch{2}{3}\sin^3 x + C[/mm]
[mm]= \sin x (\cos^2 x + \bruch{2}{3}\sin^2 x) + C[/mm]
[mm]= \sin x (\cos^2 x + \sin^2 x - \bruch{1}{3}\sin^2 x) + C[/mm]
[mm]= \sin x (1 - \bruch{1}{3}\sin^2 x) + C[/mm]
[mm]= \sin x - \bruch{1}{3}\sin^3 x + C[/mm]
Das war's.
Liebe Grüße, Wolferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tim82 |
Dankeschön! Ich weiß auch nun wo mein Fehler lag...
ABER:
Kann ich nicht ein Identität von cos x wählen um das ganze eleganter zu lösen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 09.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tim!
> Kann ich nicht ein Identität von cos x wählen um das ganze
> eleganter zu lösen?!
Mein Vorschlag:
[mm] [quote]$\cos(3x) [/mm] \ = \ [mm] 4*\cos^3(x)-3*\cos(x)$ $\gdw$ $\cos^3(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\cos(3x)+\bruch{3}{4}*\cos(x)$[/quote]
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Di 09.05.2006 | | Autor: | Wolferl |
Hi Loddar,
eine wirklich elegante Möglichkeit, das Integral zu rechnen ...
Liebe Grüße, Wolferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tim82 |
Hallo Loddar - danke das Du mir hilfst!
Allderdings kenne ich das Additionstheorem gar nicht...
sin(2x) = 2 sin x * cos x
ist mir nur geläufig, ein Beweis das dein Theorem gilt?!
Ich probiere gerade mit dem trigonometrische Pythagoras eine elegantere Lösung zu finden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tim!
Naja, das entsprechende Additionstheorem für den [mm] $\cos(x)$ [/mm] solltest Du auch kennen:
[mm] [quote]$\cos(x+y) [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)*\cos(y)-\sin(x)*\sin(y)$[/quote]
[/mm]
Damit ergibt sich dann auch:
[mm] [quote]$\cos(2x) [/mm] \ = \ [mm] \cos(x+x) [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)*\cos(x)-\sin(x)*\sin(x) [/mm] \ = \ [mm] \cos^2(x)-\left[1-\cos^2(x)\right] [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos^2(x)-1$[/quote]
[/mm]
Und nun nochmal das Additionstheorem anwenden mit [mm] $\cos(3x) [/mm] \ = \ [mm] \cos(x+2x) [/mm] \ = \ ...$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Mi 10.05.2006 | | Autor: | riwe |
und so geht es auch:
[mm] \integral_{}^{}{cos^{3}x dx}=\integral_{}^{}{cosx(1-sin^{2}x) dx}=\integral_{}^{}{cosx dx}-\integral_{}^{}{sin^{2}xcosx dx}=sinx-\frac{1}{3}sin^{3}x [/mm]
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