Integral bestimmen! < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{1}{x^2+2x} dx} [/mm] . |
Hallo nochmal  ,
ich habe die obige Aufgabe mit Anwendung der Partialbruchzerlegung gelöst.
(Kurze Frage: Kann man die Partialbruchzerlegung bei solchen Integralen immer anwenden ? Gibt es Ausnahmen? Hier wäre Ausklammern des Nenners und anschließend eine Substitution ja auch möglich, wobei ich diesen Ausdruck ---> [mm] \bruch{1}{u^2 -1} [/mm] nicht integrieren konnte, er müsste eigentlich in der Integraltabelle stehen, aber gefunden habe ich ihn nicht :S )
[mm] \bruch{1}{x^2+2x} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+2)}
[/mm]
1 = A(x+2) + B(x)
1 = 2A
0 = A+B
A = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
B = [mm] \bruch{-1}{2}
[/mm]
---> = [mm] \bruch{0,5}{x} [/mm] - [mm] \bruch{0,5}{(x+2)}
[/mm]
Stammfunktion: [ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |x| - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |x+2| ]von 1 bis 2
= ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln|2| - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |2+2| ) -( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln|1| - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |1+2| )
So, nun weiß ich leider nicht, wie ich zusammenfassen soll :-(
Wir dürfen in der Klausur keinen Taschenrechner benutzen. Mit Taschenrechner würde ich auf:
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln | [mm] \bruch{3}{2} [/mm] | kommen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mi 03.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{1}{x^2+2x} dx}[/mm] .
> Hallo nochmal ,
>
> ich habe die obige Aufgabe mit Anwendung der
> Partialbruchzerlegung gelöst.
>
> (Kurze Frage: Kann man die Partialbruchzerlegung bei
> solchen Integralen immer anwenden ? Gibt es Ausnahmen? Hier
> wäre Ausklammern des Nenners und anschließend eine
> Substitution ja auch möglich, wobei ich diesen Ausdruck
> ---> [mm]\bruch{1}{u^2 -1}[/mm] nicht integrieren konnte, er müsste
> eigentlich in der Integraltabelle stehen, aber gefunden
> habe ich ihn nicht :S )
>
> [mm]\bruch{1}{x^2+2x}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(x+2)}[/mm]
>
> 1 = A(x+2) + B(x)
>
> 1 = 2A
> 0 = A+B
>
> A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> B = [mm]\bruch{-1}{2}[/mm]
>
> ---> = [mm]\bruch{0,5}{x}[/mm] - [mm]\bruch{0,5}{(x+2)}[/mm]
>
> Stammfunktion: [ [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln |x| - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln
> |x+2| ]von 1 bis 2
Hallo,
1/2 kannst du ausklammern, und nach Logarithmengesetzen gilt
ln a - ln [mm] b=ln\bruch{a}{b}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> = ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln|2| - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln |2+2| ) -(
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln|1| - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln |1+2| )
>
> So, nun weiß ich leider nicht, wie ich zusammenfassen soll
> :-(
>
> Wir dürfen in der Klausur keinen Taschenrechner benutzen.
> Mit Taschenrechner würde ich auf:
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln | [mm]\bruch{3}{2}[/mm] | kommen....
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Carlo |
Danke abakus !
Wie sieht es mit den anderen Fragen aus ? Ist die Aufgabe korrekt ?
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Hallo Carlo,
> Danke abakus !
>
> Wie sieht es mit den anderen Fragen aus ? Ist die Aufgabe
> korrekt ?
Ja, die Stammfunktion ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Carlo |
Hallo MathePower,
> Kurze Frage: Kann man die Partialbruchzerlegung bei
> solchen Integralen immer anwenden ? Gibt es Ausnahmen? Hier
> wäre Ausklammern des Nenners und anschließend eine
> Substitution ja auch möglich, wobei ich diesen Ausdruck
> ---> [mm]\bruch{1}{u^2 -1}[/mm] nicht integrieren konnte, er müsste
> eigentlich in der Integraltabelle stehen, aber gefunden
> habe ich ihn nicht :S )
Könntest du evtl. diese Fragen auch beantworten ? Vielen Dank!
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Hallo Carlo,
> Hallo MathePower,
>
> > Kurze Frage: Kann man die Partialbruchzerlegung bei
> > solchen Integralen immer anwenden ? Gibt es Ausnahmen? Hier
Bei gebrochenrationalen Funktionen, wie diese hier,
kannst Du die Partialbruchzerlegung anwenden.
> > wäre Ausklammern des Nenners und anschließend eine
> > Substitution ja auch möglich, wobei ich diesen Ausdruck
> > ---> [mm]\bruch{1}{u^2 -1}[/mm] nicht integrieren konnte, er müsste
Dieses Integral kannst Du mit der Partialbruchzerlegung
oder mit einer weiteren Substitution lösen.
> > eigentlich in der Integraltabelle stehen, aber gefunden
> > habe ich ihn nicht :S )
>
> Könntest du evtl. diese Fragen auch beantworten ?
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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