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| Aufgabe | | Beweisen sie das [mm] \integral_{0}^{\pi}{ \bruch{xsin(x) dx}{1+cosx^{2}(x)}}=\bruch{\pi}{4} [/mm] |
Hallo Leute...
an sich kann das ja nicht so schwer sein aber wie so öfter hänge ich grad mal wieder... Mein Ansatz geht über Partielle Integration
Sei f=x und [mm] g'=\bruch{sin(x) dx}{1+cosx^{2}(x)} [/mm] dann ist f'=1 und
[mm] g=\integral_{}^{}{ \bruch{sin(x) dx}{1+cosx^{2}(x)}}
[/mm]
um das zu vereinfachen substituiere ich mit u=cos(x) [mm] (dx=\bruch{du}{-sin(x)})
[/mm]
so das g=- [mm] ln(1+cosx^{2}(x)) [/mm] ist.
ich hoffe das bis dahin erstmal alles richtig ist?!
dann ist also
[mm] \integral_{0}^{\pi}{ \bruch{xsin(x) dx}{1+cosx^{2}(x)}}= -xln(1+cosx^{2}] [/mm] (von 0 bis [mm] \pi) +\integral_{0}^{\pi}{ln(1+cosx^{2}) dx}
[/mm]
das Problem ist jetzt das ich beim letzten Integral [mm] \integral_{0}^{\pi}{ln(1+cosx^{2}) dx} [/mm] nicht weis wie ich das ausrechenen soll!
wäre das dann einfach auf das integral von ln(x) zurückzuführen und ist somit [mm] \integral_{0}^{\pi}{ln(1+cosx^{2}) dx}= (1+cosx^{2}) ln(1+cosx^{2}) [/mm] - [mm] 1+cosx^{2} [/mm] ???
kann mir da vielleicht jemand weiter helfen?
lg Seamus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mi 11.11.2009 | | Autor: | seamus321 |
danke! ich meinte [mm] cos^{2}x [/mm] , aber was der gute Wolfram sagt ist leider ziemlich schwer, wenn nicht sogar gar nicht nachvollziehbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Do 12.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Seamus,
wahrscheinlich gibt es einen Ansatz, in dem eines der mühsamen Integrale wegfällt, weil es bestimmt ist und z.B. klar ist, dass die Fläche von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] sich mit der von [mm] \pi/2 [/mm] bis [mm] \pi [/mm] zu Null addiert.
Im Moment sehe ich keinen, habe aber leider auch gerade keine Zeit, einen zu suchen.
Vielleicht hat ja zwischendurch schonmal jemand anders eine Idee... 
lg
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Do 12.11.2009 | | Autor: | Doing |
Hallo.
Das Integral ist tatsächlich recht lustig. Ich hab jetzt eine ganze Weile nachgedacht, und komme bloß mit einem Trick auf die Lösung. Es kann natürlich sein, dass es einen direkteren Weg gibt das Ding zu lösen; allerdings komm ich nicht drauf.
Also nun zu meiner Lösung:
Als erstes mache ich eine Substitution u=cos(x).
Man erhält dann:
[mm] I= \integral_{-1}^{1}{\bruch{arccos(u)}{1+u^2} du} [/mm]
Jetzt kommt der Trick: Ich setze
[mm] arccos(u)= - (\integral_{0}^{1}{\bruch{u}{\wurzel{1-u^2 y^2}} dy}-\bruch{\pi}{2}) [/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] I=-(\integral_{-1}^{1}[{\integral_{0}^{1}{\bruch{u}{(1+u^2)\wurzel{1-u^2 y^2}} dy}-\bruch{\pi}{2}\bruch{1}{1+u^2} ]du}) [/mm]
Jetzt vertausche ich die Integrationsreihenfolge. Beim ersten Integral muss ein bisschen geknobelt werden. Was rauskommt ist aber:
[mm] I=-\integral_{0}^{1}{[\bruch{arctan(\bruch{\wurzel{1-y^2 u^2}}{\wurzel{-1-y^2}})}{\wurzel{-1-y^2}}\bigg|_{u=-1}^{u=1} dy} - \bruch{\pi}{2} arctan(u) \bigg|_{-1}^{1} [/mm]
Der erste Term fällt weg, da u nur quadratisch vorkommt, und das 2. Integral ausgewertet ergibt [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm].
Also:
[mm]I=-(-\bruch{\pi}{4})=\bruch{\pi}{4} [/mm]
Vermutlich musst du dann noch erklären wieso man das alles so machen darf mit dem vertauschen usw. Soweit ich das sehe, sollte es da aber keine allzu großen Probleme geben. Aber ich studier auch bloß Physik.
Grüße
Doing
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sehr hübsch