Integral berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hallo, ich frag mich, wie ich das Integral
[mm] $\int_a^b x^y\, [/mm] dy$ mit $b>a>0$
berechnen kann. |
partielle Integration? Oder Integration durch Substitution?
Da steht ja
[mm] $\int\limits_a^b \underbrace{x\cdot x\cdot\hdots\cdot x}_{y-\mbox{mal}}\, [/mm] dy
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mi 14.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich frag mich, wie ich das Integral
>
> [mm]\int_a^b x^y\, dy[/mm] mit [mm]b>a>0[/mm]
>
> berechnen kann.
>
> partielle Integration? Oder Integration durch Substitution?
>
>
> Da steht ja
>
> [mm]$\int\limits_a^b \underbrace{x\cdot x\cdot\hdots\cdot x}_{y-\mbox{mal}}\,[/mm]
> dy
Für x>0 ist [mm] x^y=e^{y*ln(x)}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Danke, da kommt dann also
[mm] $\frac{x^b-x^a}{\ln(x)}$ [/mm] raus.
---
Und was ist dann
[mm] $\int_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln(x)}\, [/mm] dx$ bzw. wie kann ich das ausrechnen?
Ich würds erstmal aufspalten:
[mm] $\int_0^1\frac{x^b}{\ln(x)}\, dx-\int_0^1\frac{x^b}{\ln(x)}\, [/mm] dx$.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Danke, da kommt dann also
>
> [mm]\frac{x^b-x^a}{\ln(x)}[/mm] raus.
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ---
> Und was ist dann
>
> [mm]\int_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln(x)}\, dx[/mm] bzw. wie kann ich das
> ausrechnen?
>
> Ich würds erstmal aufspalten:
>
> [mm]\int_0^1\frac{x^b}{\ln(x)}\, dx-\int_0^1\frac{x^b}{\ln(x)}\, dx[/mm].
Hm, was hat das eine mit dem anderen zu tun? Geht es um ein mehrdimensionales Intergal, dann solltest du in Zukunft gleich die komplette Aufgabe angeben.
Auf jeden Fall kann man eines sagen: das obige Integral lässt sich, sofern es überhaupt existiert, sicherlich nicht geschlossen darstellen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Hm, was hat das eine mit dem anderen zu tun? Geht es um ein
> mehrdimensionales Intergal, dann solltest du in Zukunft
> gleich die komplette Aufgabe angeben.
Okay, sorry. Werde ich in Zukunft tun.
Die Aufgabe lautet:
Sei $b>a>0$. Zeige mittels Integration von [mm] $x^y$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\times[a,b]$, [/mm] dass [mm] $\int_0^1\frac{x^b-x^a}{\log x}\, dx=\log\left(\frac{1+b}{1+a}\right)$.
[/mm]
Und ich habe halt erst Fubini-Tonelli benutzt:
[mm] $\int\limits_{[0,1]\times [a,b]}x^y\, d(x,y)=\int_0^1\int_a^b x^y\, dy\, [/mm] dx$
und das innere Integral hat sich ergeben als
[mm] $\frac{x^b-x^a}{\log x}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mi 14.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hm, was hat das eine mit dem anderen zu tun? Geht es um ein
> > mehrdimensionales Intergal, dann solltest du in Zukunft
> > gleich die komplette Aufgabe angeben.
>
> Okay, sorry. Werde ich in Zukunft tun.
> Die Aufgabe lautet:
>
> Sei [mm]b>a>0[/mm]. Zeige mittels Integration von [mm]x^y[/mm] auf
> [mm][0,1]\times[a,b][/mm], dass [mm]\int_0^1\frac{x^b-x^a}{\log x}\, dx=\log\left(\frac{1+b}{1+a}\right)[/mm].
>
>
> Und ich habe halt erst Fubini-Tonelli benutzt:
>
> [mm]\int\limits_{[0,1]\times [a,b]}x^y\, d(x,y)=\int_0^1\int_a^b x^y\, dy\, dx[/mm]
>
> und das innere Integral hat sich ergeben als
>
> [mm]\frac{x^b-x^a}{\log x}[/mm].
Wie ich Dir hier
https://matheraum.de/read?i=978277
schon geschrieben habe, lauten die Zauberworte: Vertauschen der Integrationsreihenfolge
FRED
|
|
|
| |
|
Ah, dankeschön!
[mm] $\int_a^b\int_0^1 x^y\, dx\, dy=\int_a^b\frac{1}{y+1}\, dy=\log(b+1)-\log(a+1)=\log\left(\frac{b+1}{a+1}\right)$.
[/mm]
- - - -
Nochmal zur Begründung, wieso man Fubini anwenden darf.
Meine Begründung ist mit Fubini-Tonelli, dass
[mm] $\lvert x^y\rvert\leq [/mm] 1$ für [mm] $0\leq x\leq [/mm] 1$ und somit
[mm] $\int_a^b\int_0^1\lvert x^y\rvert\, dx\, dy\leq\int_a^b\int_0^1 1\, dx\, dy=b-a<\infty$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Mi 14.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ah, dankeschön!
>
> [mm]\int_a^b\int_0^1 x^y\, dx\, dy=\int_a^b\frac{1}{y+1}\, dy=\log(b+1)-\log(a+1)=\log\left(\frac{b+1}{a+1}\right)[/mm].
Das ist O.K.
>
> - - - -
>
> Nochmal zur Begründung, wieso man Fubini anwenden darf.
>
> Meine Begründung ist mit Fubini-Tonelli, dass
>
> [mm]\lvert x^y\rvert\leq 1[/mm] für [mm]0\leq x\leq 1[/mm]
> und somit
>
> [mm]\int_a^b\int_0^1\lvert x^y\rvert\, dx\, dy\leq\int_a^b\int_0^1 1\, dx\, dy=b-a<\infty[/mm]
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
Du hast mir echt geholfen, danke! ♥
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Mi 14.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke, da kommt dann also
>
> [mm]\frac{x^b-x^a}{\ln(x)}[/mm] raus.
Und was ist im Falle x=1 ?
>
>
> ---
> Und was ist dann
>
> [mm]\int_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln(x)}\, dx[/mm] bzw. wie kann ich das
> ausrechnen?
Hast Du das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{(\integral_{a}^{b}{x^y dy}) dx}
[/mm]
zu berechnen ?
Wenn ja, so bemühe den Herrn Fubini.
FRED
>
> Ich würds erstmal aufspalten:
>
> [mm]\int_0^1\frac{x^b}{\ln(x)}\, dx-\int_0^1\frac{x^b}{\ln(x)}\, dx[/mm].
|
|
|
|
