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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Do 14.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2x^{2+1}}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}. [/mm] |
Hallo,
ich habe mir bei diesem Integral gedacht, dass man zuerst eine Partialburchzerlegung anwendet, aber bei der bekomme ich schon Probleme :/
Meine Rechnung:
[mm] \bruch{2x^{2+1}}{(x-2)(x+1)^{2}}= \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] + [mm] \bruch{\beta_{1}}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{\beta_{2}}{(x+1)^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{5}{9}=\bruch{2*2+1}{(2+1)^{2}} [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}=\bruch{2*(-1)+1}{(-1-2)} [/mm] = [mm] \beta_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{2x^{2+1}}{(x-2)(x+1)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{5}{9}}{(x-2)} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{-1}{-3}}{(x+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x+1-\bruch{5}{9}x^{2}-\bruch{10}{9}x-\bruch{5}{9}-\bruch{1}{3}x^{2}+\bruch{4}{3}x+\bruch{4}{3}}{(x-2)(x+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{9}x+\bruch{16}{9}}{(x-2)(x+1)^{2}}
[/mm]
mal neun und mal -1
[mm] =\bruch{8x^{2}-2x-16}{(x-2)(x+1)^{2}}
[/mm]
Damit weiß ich nicht, wie ich [mm] \beta_{1} [/mm] ausrechnen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 14.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2x^{2+1}}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}.[/mm]
Hallo,
ist das Integral richtig geschrieben (mit 2+1 im Exponenten)?
Wenn ja, könnte man dafür auch "3" schreiben.
Gruß Abakus
>
> Hallo,
>
> ich habe mir bei diesem Integral gedacht, dass man zuerst
> eine Partialburchzerlegung anwendet, aber bei der bekomme
> ich schon Probleme :/
>
> Meine Rechnung:
> [mm]\bruch{2x^{2+1}}{(x-2)(x+1)^{2}}= \bruch{\alpha}{(x-2)}[/mm] +
> [mm]\bruch{\beta_{1}}{(x+1)}[/mm] + [mm]\bruch{\beta_{2}}{(x+1)^{2}}[/mm]
> [mm]\bruch{5}{9}=\bruch{2*2+1}{(2+1)^{2}}[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
> [mm]\bruch{1}{3}=\bruch{2*(-1)+1}{(-1-2)}[/mm] = [mm]\beta_{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x^{2+1}}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{\bruch{5}{9}}{(x-2)}[/mm] -
> [mm]\bruch{\bruch{-1}{-3}}{(x+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x+1-\bruch{5}{9}x^{2}-\bruch{10}{9}x-\bruch{5}{9}-\bruch{1}{3}x^{2}+\bruch{4}{3}x+\bruch{4}{3}}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{9}x+\bruch{16}{9}}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm]
> mal neun und mal -1
> [mm]=\bruch{8x^{2}-2x-16}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm]
> Damit weiß ich nicht, wie ich [mm]\beta_{1}[/mm] ausrechnen soll.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 14.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Ach verdammt :/ hab das falsch aufgeschrieben und gerechnet. Ich mach nochmal eine neue Rechnung.
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}}= \bruch{\alpha}{(x-2)} [/mm] + [mm] \bruch{\beta_{1}}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{\beta_{2}}{(x+1)^{2}}
[/mm]
[mm] 1=\bruch{8+1}{9}=\alpha
[/mm]
[mm] -1=\bruch{2*1+1}{(-1-2)}=\beta_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(x-2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(x+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x+1-x^{2}+2x-1+x-2}{(x-2)(x+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-x^{2}+5x-2}{(x-2)(x+1)^{2}}
[/mm]
Das sollte aber jetzt richtig sein. Aber leider hab ich immer noch ein Problem mit [mm] \beta_{1} [/mm] oder ist es einfach 1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Do 14.02.2013 | | Autor: | Adamantin |
Ja. A ist bei mir 1, B ist bei mir 1 und C ist bei mir -1. Das ergibt sich ja z.B. durch eine dritte Gleichung mit x=0 sofort.
Danach kannst du alle Terme als Summe darstellen, ich weiß leider nicht ,was du am Ende des obigen Beitrages machst, wenn du alles wieder auf einen Nenner zusammenziehst...das Ziel ist doch die Integration?
> Ach verdammt :/ hab das falsch aufgeschrieben und
> gerechnet. Ich mach nochmal eine neue Rechnung.
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}}= \bruch{\alpha}{(x-2)}[/mm] +
> [mm]\bruch{\beta_{1}}{(x+1)}[/mm] + [mm]\bruch{\beta_{2}}{(x+1)^{2}}[/mm]
> [mm]1=\bruch{8+1}{9}=\alpha[/mm]
> [mm]-1=\bruch{2*1+1}{(-1-2)}=\beta_{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(x-2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(x+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x+1-x^{2}+2x-1+x-2}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-x^{2}+5x-2}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm]
>
> Das sollte aber jetzt richtig sein. Aber leider hab ich
> immer noch ein Problem mit [mm]\beta_{1}[/mm] oder ist es einfach 1?
Du hast jetzt also:
[mm] $\cfrac{2x^2+1}{(x-2)(x+1)^2}=\cfrac{1}{(x-2)}+\cfrac{1}{(x+1)}-\cfrac{1}{(x+1)^2}$
[/mm]
Das kannst du jetzt schön einzeln integrieren...
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Hallo Fabian,
da steckt ein kleiner Fehler drin.
> Ach verdammt :/ hab das falsch aufgeschrieben und
> gerechnet. Ich mach nochmal eine neue Rechnung.
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}}= \bruch{\alpha}{(x-2)}[/mm] +
> [mm]\bruch{\beta_{1}}{(x+1)}[/mm] + [mm]\bruch{\beta_{2}}{(x+1)^{2}}[/mm]
> [mm]1=\bruch{8+1}{9}=\alpha[/mm]
> [mm]-1=\bruch{2*1+1}{(-1-2)}=\beta_{2}[/mm]
Ok ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Die beiden hast Du also mit der "Zuhaltemethode" ermittelt.
> [mm]\bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(x-2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(x+1)^{2}}[/mm]
Das besser als Gleichung notieren, also [mm] \bruch{\beta_1}{(x+1)}=\cdots
[/mm]
> [mm]=\bruch{2x+1-x^{2}+2x-1+x-2}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm]
Hier ist der Rechenfehler in der Mitte des Zählers, da muss es [mm] -x^2-2x-1 [/mm] heißen.
Außerdem hast Du aus dem ersten Summanden $2x$ gemacht und das Quadrat vergessen.
> [mm]=\bruch{-x^{2}+5x-2}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm]
Richtig wäre:
Du hast jetzt also [mm] \bruch{\beta_1}{(x+1)}=\bruch{x^2-x-2}{(x-2)(x+1)^2}
[/mm]
...und das wir von [mm] \beta_1=1 [/mm] gelöst.
> Das sollte aber jetzt richtig sein. Aber leider hab ich
> immer noch ein Problem mit [mm]\beta_{1}[/mm] oder ist es einfach 1?
Ja, nur wie hast Du das jetzt erraten?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Do 14.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
vor [mm] \bruch{x^2-x-2}{(x-2)(x+1)^2} [/mm] steht ja eine eins, deswegen dachte ich, dass [mm] \beta_{1}=1 [/mm] ist.
Wie mach ich denn weiter? Weiß nicht, was ich jetzt aus der Partialbruchzerlegung verwenden soll, um das Integral zu berechnen.
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Hallo Fabian,
> vor [mm]\bruch{x^2-x-2}{(x-2)(x+1)^2}[/mm] steht ja eine eins,
> deswegen dachte ich, dass [mm]\beta_{1}=1[/mm] ist.
Hm. Verstehe ich nicht. Es klingt auch falsch.
> Wie mach ich denn weiter? Weiß nicht, was ich jetzt aus
> der Partialbruchzerlegung verwenden soll, um das Integral
> zu berechnen.
Na, du kannst jetzt Dein vorliegendes Integral in drei Summanden zerlegen, die sehr viel einfacher zu integrieren sind:
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{2x^2+1}{(x-2)(x+1)^2}dx=\integral_{0}^{1}\bruch{1}{x-2}dx+\integral_{0}^{1}\bruch{1}{x+1}dx-\integral_{0}^{1}\bruch{1}{(x+1)^2}dx
[/mm]
Alle drei Integrale sind durch Substitution leicht zu lösen.
Grüße
reverend
PS: Wenn Du eine Frage hast, solltest Du sie nicht als Mitteilung hier einstellen, sondern direkt als Frage - und umgekehrt. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 14.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Könntest du mir bitte erklären, wie man auf [mm] \beta_{1} [/mm] kommt?
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Hallo nochmal,
lies die Antworten, die Du hier bekommst, gründlicher.
> Könntest du mir bitte erklären, wie man auf [mm]\beta_{1}[/mm]
> kommt?
Auf dem Weg, den Du selbst von Anfang an eingeschlagen hast. Du hattest dich nur verrechnet.
Das habe ich hier korrigiert. Da steht auch, welches [mm] \beta_1 [/mm] die Gleichung löst; Du kannst es da auch leicht nachrechnen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Do 14.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Achso^^
Danke
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Hi!
Nur als mögliche Alternative (Die andere Variante ist weder besser noch schlechter):
> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2x^{2}+1}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}.[/mm]
>
Nehmen wir mal den Zähler:
[mm]2x^2+1[/mm]
Wir zerlegen zunächst [mm]2x^2[/mm] in [mm]x^2+x^2[/mm]. Danach addieren wir [mm]2x[/mm] und ziehen es gleich wieder ab.
Wir haben also:
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^{2}+2x+1+x^2-2x}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}[/mm]
Dies Schreiben wir um zu:
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^{2}+2x+1}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{x^2-2x}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}[/mm]
Mit der ersten Binomischen Formel und einer Nullstellenberechnung folgt:
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{(x+1)^2}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{x\cdot (x-2)}{(x-2)(x+1)^{2}} dx}[/mm]
Also:
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x-2)} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{x}{(x+1)^{2}} dx}[/mm]
Wir können nun noch [mm]\bruch{x}{(x+1)^{2}}[/mm] umschreiben:
[mm]\bruch{x}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}[/mm]
Wir erhalten also ingesamt das Integral:
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x-2)} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x+1)} dx}-\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x+1)^2} dx}[/mm]
Ich hoffe das stimmt so und ich habe mich nicht verrechnet.
Dieser Weg führt dich auf eine sehr einfache Integration.
Gruß Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 14.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Ich verstehe [mm] \bruch{x}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2} [/mm] nicht, könntest du mir das bitte näher erklären?
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Hallo Fabian,
das ist doch einfache Bruchrechnung.
> Ich verstehe
> [mm]\bruch{x}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}[/mm] nicht,
> könntest du mir das bitte näher erklären?
Bringe rechts beide Brüche auf einen Hauptnenner, dann solltest Du es selbst sehen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Do 14.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Habs verstanden. Danke.
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