Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | Berechne
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{2x +1}{x^2 +6x +9} dx}[/mm] |
Mein Ansatz war hier eine Partialbruchzerlegung zu machen. Aber da es hier im nenner nur eine Nullstelle gibt, weis ich nicht wie ich es auf Bruch A und B spliten soll. Möglicherweise muss man ganz anders da ran gehen?
MfG
Janina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mo 20.06.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] \bruch{2x +1}{x^2 +6x +9}= \bruch{2x +1}{(x+3)^2}= \bruch{A}{x+3}+\bruch{B}{(x+3)^2}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Parkan |
Hmm ok.
Der nächste Schritt sieht bei mir so aus
1.
[mm]\bruch{A}{x+3}+\bruch{B}{(x+3)^2} [/mm] = [mm]\bruch{A(x+3)^2 + B}{(x+3)^2}[/mm]
2.
A+B=1
9A+b=1
Bestimmt ist schon was falsch oder ?
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Hallo Parkan,
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> Hmm ok.
> Der nächste Schritt sieht bei mir so aus
> 1.
> [mm]\bruch{A}{x+3}+\bruch{B}{(x+3)^2}[/mm] = [mm]\bruch{A(x+3)^2 + B}{(x+3)^2}[/mm]
Nein, du musst doch den ersten Bruch lediglich mit [mm] $\red{(x+3)}$ [/mm] erweitern:
[mm] $\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3)^2}=\frac{A\cdot{}\red{(x+3)}}{(x+3)\cdot{}\red{(x+3)}}+\frac{B}{(x+3)^2}=\frac{A(x+3)+B}{(x+3)^2}$ [/mm] ...
>
> 2.
> A+B=1
> 9A+b=1
>
> Bestimmt ist schon was falsch oder ?
Wenn du nun oben im Zähler ausmultiplizierst und nach Potenzen von $x$ sortierst, hast du $Ax+(3A+B)$
Also
(1) $A=2$
(2) $3A+B=1$
Gruß
schachuzipus
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Hallo Janina!
Alternativ kann man hier auch wie folgt vorgehen (ohne Partialbruchzerlegung):
[mm] $$\bruch{2x +1}{x^2 +6x +9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x +1 \ \red{+5-5}}{x^2 +6x +9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x +6-5}{x^2 +6x +9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x +6}{x^2 +6x +9}+\bruch{-5}{x^2 +6x +9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*(x+3)}{(x+3)^2}-\bruch{5}{(x+3)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{x+3}-\bruch{5}{(x+3)^2}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Parkan |
Wie bist du auf die 5 gekommen?
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Hallo Parkan,
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> Wie bist du auf die 5 gekommen?
>
Die Ableitung des Nenners [mm]x^{2}+6*x+9[/mm] ist
[mm]\left(x^{2}+6*x+9\right)'=2*x+6[/mm]
Daher kann der Zähler auch so geschrieben werden:
[mm]2*x+1=2*x+6-5=\left(2*x+1\right)+5-5[/mm]
Gruss
MathePower
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