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Hallo,
ich möchte berechnen:
[mm] \integral_{a}^{b} e^{x^2} [/mm] dx
Dazu substituiere ich z = [mm] x^2
[/mm]
Das ergibt dann
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{a}^{b} e^z [/mm] dz
Integral von [mm] e^z [/mm] ist [mm] e^z
[/mm]
Also habe ich [mm] \bruch{1}{2} e^z |_{a}^{b}
[/mm]
Zurück substituieren:
[mm] \bruch{1}{2}e^{x^2} |_{a}^{b}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} (e^{b^2} [/mm] - [mm] e^{a^2})
[/mm]
Stimmt das so?
Danke,
Anna
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Hallo Anna,
> Hallo,
>
> ich möchte berechnen:
> [mm]\integral_{a}^{b} e^{x^2}[/mm] dx
>
> Dazu substituiere ich z = [mm]x^2[/mm]
> Das ergibt dann
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{a}^{b} e^z[/mm] dz ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Zum einen musst du die Grenzen mit substituieren und zum anderen das Differential.
Mit [mm] $z=z(x):=x^2$ [/mm] ist [mm] $z'(x)=\frac{dz}{dx}=2x$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{dz}{2x}=\frac{dz}{2\sqrt{z}}$
[/mm]
Du hast also [mm] $\frac{1}{2}\int{\frac{e^z}{\sqrt{z}} \ dz}$
[/mm]
Hier hilft dir die Substitution nicht weiter.
Schaue dir mal das ![[]](/images/popup.gif) Gaußsche Fehlerintegral an
> Integral von [mm]e^z[/mm] ist [mm]e^z[/mm]
> Also habe ich [mm]\bruch{1}{2} e^z |_{a}^{b}[/mm]
> Zurück
> substituieren:
> [mm]\bruch{1}{2}e^{x^2} |_{a}^{b}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} (e^{b^2}[/mm] -
> [mm]e^{a^2})[/mm]
>
> Stimmt das so?
> Danke,
> Anna
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo schachuzipus,
DANKE für Deine Antwort. Ich hatte leider beim Abtippen ein x vergessen.
Aber so oder so habe ich noch eine Frage hierzu:
> Zum einen musst du die Grenzen mit substituieren und zum
> anderen das Differential.
>
> Mit [mm]z=z(x):=x^2[/mm] ist [mm]z'(x)=\frac{dz}{dx}=2x[/mm], also
> [mm]dx=\frac{dz}{2x}=\frac{dz}{2\sqrt{z}}[/mm]
Das könnte ich doch aber auch sein lassen, wenn ich wieder zurück substituiere, oder? Also diesen Schritt [mm] \frac{dz}{2\sqrt{z}}
[/mm]
> Du hast also [mm]\frac{1}{2}\int{\frac{e^z}{\sqrt{z}} \ dz}[/mm]
>
> Hier hilft dir die Substitution nicht weiter.
>
> Schaue dir mal das
> Gaußsche Fehlerintegral
> an
Habe ich noch nichts von gehört, denke auch, dass es an meinem Tippfehler lag. Aber werde mir das dennoch mal durchlesen, DANKE!
Gruß
Anna
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Hallo, ich sehe gerade, dass ich ein x vergessen habe abzutippen :-(
> ich möchte berechnen:
> [mm]\integral_{a}^{b} e^{x^2} x[/mm] dx
Also [mm] e^{x^2} [/mm] mal x
Dazu substituiere ich z = [mm]x^2[/mm]
Das ergibt dann
[mm]\bruch{1}{2} \integral_{a}^{b} e^z[/mm] dz
Integral von [mm]e^z[/mm] ist [mm]e^z[/mm]
Also habe ich [mm] \bruch{1}{2} e^z [/mm]
Zurück substituieren:
[mm] \bruch{1}{2}e^{x^2} |_{a}^{b} [/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (e^{b^2}[/mm] - [mm]e^{a^2})[/mm]
Stimmt es also vielleicht doch?
Danke,
Anna
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Hallo Anna-Lyse,
> Hallo, ich sehe gerade, dass ich ein x vergessen habe
> abzutippen :-(
>
> > ich möchte berechnen:
> > [mm]\integral_{a}^{b} e^{x^2} x[/mm] dx
>
> Also [mm]e^{x^2}[/mm] mal x
>
> Dazu substituiere ich z = [mm]x^2[/mm]
> Das ergibt dann
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{a}^{b} e^z[/mm] dz
Mit der Substitution mußt Du auch die Grenzen substituieren.
Daher lautet das zu berechnende Integral nach der Substitution:
[mm]\bruch{1}{2} \integral_{a^{\red{2}}}^{b^{\red{2}}} e^{z} \ dz[/mm]
> Integral von [mm]e^z[/mm] ist [mm]e^z[/mm]
> Also habe ich [mm]\bruch{1}{2} e^z[/mm]
>
> Zurück substituieren:
> [mm]\bruch{1}{2}e^{x^2} |_{a}^{b}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (e^{b^2}[/mm] -
> [mm]e^{a^2})[/mm]
>
> Stimmt es also vielleicht doch?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke,
> Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo MathePower,
DANKE!
Gruß,
Anna
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Hallo,
ich habe noch eine Frage dazu.
Im Script haben wir die Substitution mit [mm] \varphi [/mm] definiert.
Bisher habe ich es immer so gemacht:
> > ich möchte berechnen:
> > [mm]\integral_{a}^{b} e^{x^2} x[/mm] dx
>
> Dazu substituiere ich z = [mm]x^2[/mm]
> Das ergibt dann
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{a^2}^{b^2} e^z[/mm] dz
> Integral von [mm]e^z[/mm] ist [mm]e^z[/mm]
> Also habe ich [mm]\bruch{1}{2} e^z[/mm]
>
> Zurück substituieren:
> [mm]\bruch{1}{2}e^{x^2} |_{a}^{b}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (e^{b^2}[/mm] - [mm]e^{a^2})[/mm]
Irgendwie habe ich Probleme das Formal mit [mm] \varphi [/mm] zu machen.
Ich setze f:[a,b] [mm] \to \IR, f(x):=e^x
[/mm]
[mm] \varphi(t) [/mm] = [mm] t^2, \varphi [/mm] '(t) = 2t
[mm] \integral_{a}^{b} e^{x^2} [/mm] x dx = [mm] \integral_{a}^{b} f(\varphi(t)) [/mm] t dt
Ist das soweit überhaupt noch richtig?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo,
also es will mir nicht in meinen Kopf :-(
Die Substitution ansich durchzuführen ist kein Problem, nur habe ich das wie gesagt immer mit u=.. und dx = ... (Umrechnung des Differentials) gemacht.
Ich weiß einfach nicht, wie ich es analog dazu mit [mm] \varphi [/mm] und f machen kann, also aufstelle.
Hat jemand vielleicht eine Erklärung für mich?
Danke,
Anna
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> Hallo,
>
> ich habe noch eine Frage dazu.
> Im Script haben wir die Substitution mit [mm]\varphi[/mm]
> definiert.
> Bisher habe ich es immer so gemacht:
>
> > > ich möchte berechnen:
> > > [mm]\integral_{a}^{b} e^{x^2} x[/mm] dx
> >
> > Dazu substituiere ich z = [mm]x^2[/mm]
> > Das ergibt dann
> > [mm]\bruch{1}{2} \integral_{a^2}^{b^2} e^z[/mm] dz
> > Integral von [mm]e^z[/mm] ist [mm]e^z[/mm]
> > Also habe ich [mm]\bruch{1}{2} e^z[/mm]
> >
> > Zurück substituieren:
> > [mm]\bruch{1}{2}e^{x^2} |_{a}^{b}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (e^{b^2}[/mm]
> - [mm]e^{a^2})[/mm]
>
> Irgendwie habe ich Probleme das Formal mit [mm]\varphi[/mm] zu
> machen.
> Ich setze f:[a,b] [mm]\to \IR, f(x):=e^x[/mm]
> [mm]\varphi(t)[/mm] = [mm]t^2, \varphi[/mm]
> '(t) = 2t
>
> [mm]\integral_{a}^{b} e^{x^2}[/mm] x dx = [mm]\integral_{a}^{b} f(\varphi(t))[/mm]
> t dt
>
> Ist das soweit überhaupt noch richtig?
Bis dahin ist das wohl richtig, es steht ja [mm]\integral_{a}^{b} e^{x^2}[/mm] x dx = [mm]\integral_{a}^{b} f(\varphi(t))t dt[/mm] =[mm]\integral_{a}^{b}e^{\varphi(t)}t dt[/mm]
Dann noch dt ersetzen und es sollte das gleiche sein wie oben auch.
> Danke,
> Anna
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Hallo,
DANKE für Deine Antwort.
Irgendwie bin ich da sehr unsicher. Ich gebe mal ein Beispiel aus meinem Script:
[mm] \integral_{a}^{b} e^{\sqrt x} [/mm] dx. Es wird gesetzt:
f(x) := x [mm] e^x [/mm] und [mm] \varphi(t):= \sqrt{t}
[/mm]
-wie kommt man hier auf das f(x)?-
Und dann gilt
[mm] \integral_{a}^{b} e^{\sqrt x} [/mm] dx = [mm] \integral_{a}^{b} \bruch{f(\varphi(t))}{\sqrt t} [/mm] dt -wie kommt man darauf?-
=2 [mm] \integral_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t) [/mm] dt
= 2 [mm] \integral_{\sqrt a}^{\sqrt b} [/mm] f(x) dx = 2 [mm] \integral_{\sqrt a}^{\sqrt b} [/mm] x [mm] e^x [/mm] dx
=2 [mm] ((\sqrt(b) [/mm] - [mm] 1)e^{\sqrt b} -(\sqrt{a}-1)e^{\sqrt a})
[/mm]
Hm, irgendwie verstehe ich das nicht so. Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte. Ich finde das so viel umständlicher mit dieser "formellen Methode" (wahrscheinlich weil ich nicht durchblicke).
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 03.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht verwirrt Dich die Schreibweise. Möglicherweise gefällt es Dir so besser:
Für $ [mm] \integral_{a}^{b} {e^{\sqrt x} dx} [/mm] $ substituiere $ u = [mm] \wurzel{x}$
[/mm]
Dann: [mm] $\bruch{du}{dx}= \bruch{1}{2 \wurzel{x}}= \bruch{1}{2u}$
[/mm]
Somit: $dx=2u*du$
Wir bekommen:
$ [mm] \integral_{a}^{b} {e^{\sqrt x} dx} [/mm] = [mm] 2\integral_{\wurzel{a}}^{\wurzel{a}}{e^u*u du}$
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
DANKE für Deine Antwort!
> Vielleicht verwirrt Dich die Schreibweise.
Ja, genau das ist es, was mich verwirrt bzw. ich in dieser Form so nicht nachvollziehen kann - und dementsprechend auch nicht selbst anwenden kann.
> Möglicherweise
> gefällt es Dir so besser:
>
> Für [mm]\integral_{a}^{b} {e^{\sqrt x} dx}[/mm] substituiere [mm]u = \wurzel{x}[/mm]
>
> Dann: [mm]\bruch{du}{dx}= \bruch{1}{2 \wurzel{x}}= \bruch{1}{2u}[/mm]
>
> Somit: [mm]dx=2u*du[/mm]
>
>
>
> Wir bekommen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} {e^{\sqrt x} dx} = 2\integral_{\wurzel{a}}^{\wurzel{a}}{e^u*u du}[/mm]
Ja, so gefällt es mir viel besser. Denn genau nach dieser Art habe ich bisher immer alle Aufgaben gelöst. Aber was ist, wenn ich dieses mit [mm] \varphi [/mm] zeigen soll? Hm, ich bekomme da nicht raus, wie ich f(x) zu setzen habe und wie dann die "Gleichung" aufstellen mit [mm] f(\varphi(t))\varphi'(t).
[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mi 03.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Anne
wahrscheinlich müsst ihr das gar nicht so machen, sondern es war für den Beweis der Substitutionsregel wichtig, dass gilt:
[mm] \integral_{t=a}^{t=b}{f(\phi(t))*\phi't) dt}=\integral_{\alpha}^{\beta}{f(\phi) d\phi}
[/mm]
mit [mm] \alpha=\phi^{-1}(a)
[/mm]
Das kann man dur Anwenden der Kettenregel leicht zeigen.
Deshalb will man f(x) so umschreiben, dass da steht [mm] f(\phi)*\phi'
[/mm]
Mit der verkürzten Merkregel, dx muss durch [mm] d\phi [/mm] ersetzt werden tut man im Prinzip das gleiche, geht aber mit den Symbolen dx, [mm] d\phi [/mm] eigentlich unsachgemäß um, es ist also eher eine Merkregel.
Dein Vorgehen etwa bei [mm] e^{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] \phi(x)=\wurzel{x} x^2=\phi [/mm]
[mm] \phi'(x)=1/(2*\wurzel{x})=1/(2\phi)
[/mm]
[mm] e^{\wurzel{x}}=e^{\phi}*\phi'/\phi'=e^{\phi}*2\phi*\phi'
[/mm]
un mit dem [mm] e^{\phi}*2\phi [/mm] hast du die funktion die dein Prof (weil ers schon alles gemacht hatte!) vornehin geschrieben hat. du hast also jetzt die fkt [mm] f(\phi)=2*\phi+e^{\phi} [/mm] bzw [mm] f(x)=x*e^x [/mm] und im Integral steht diese funktion [mm] f(\phi)*\phi'
[/mm]
die wir wollten.
Wenn du alsi in deiner substitutionsregel nicht [mm] d\phi=\phi'*dx [/mm] schreibst, sondern einfach [mm] \phi' [/mm] reinschreibst ist es formal richtiger.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Do 04.03.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo leduart,
vielen DANK für Deine Antwort! Ich werde sie mir morgen früh in Ruhe noch einmal durchlesen und versuchen im Kopf zu verinnerlichen!
Gruß
Anna
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