Integral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | | Man berechne das Integral [mm] \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{sin(z)}{(z-\bruch{\pi}{2})^2} dz}. [/mm] |
Hallo zusammen.
Diese Aufgabe stammt aus meiner diesjährigen Klausur in Komplexer Analysis, die ich leider nicht bestanden habe. Ich würd sie hier gern mal durchrechen.
Ich wusste nicht genau, mit welchem Verfahren ich an dieses Integral rangehen sollte: Cauchy-Integralformel, allgemeine Cauchy-Integralformel, Residuensatz. Welches Verfahren sollte man hier wählen und warum? Ich habe mich dann (ohne Begründung) für den Residuensatz entschieden. Der Prof hat da einen Haken dran gemacht.
Dazu braucht man ja erstmal einen Zykel. Der ist ja gegeben, weil die Kreislinie eine geschlossene Kurve ist. Dann die isolierten Singularitäten. Da hab ich dann eine doppelte isolierte Singularität bei [mm] z=\bruch{\pi}{2} [/mm] notiert.
So, zur Berechnung des Residuums wollte ich folgenden Satz anwenden:
Hat f in a einen Pol der Ordnung [mm] n\ge1, [/mm] dann gilt mit [mm] g(z)=(z-a)^n*f(z) [/mm] : [mm] res_a(f)=\limes_{z\rightarrow a}\bruch{g^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} [/mm]
Auch das hat der Prof abgehackt.
Ich hab jetzt einfach mal geraten, dass es sich bei der isolierten Singularität um einen Pol handelt. Prüfen kann ich das doch, indem ich schaue, ob der Graph an der Definitionslücke ins Unendliche driftet, oder? Und dann hab ich noch gesagt, dass es ein Pol der Ordnung zwei ist, weil er ja doppelt auftritt.
So, dann hab ich jetzt das Residuum berechnet:
[mm] g(z)=(z-\bruch{\pi}{2})^2*\bruch{sin(z)}{(z-\bruch{\pi}{2})^2}=sin(z)
[/mm]
[mm] g^{(1)}(z)=cos(z)
[/mm]
[mm] g^{(1)}(\bruch{\pi}{2})=cos(\bruch{\pi}{2})=0
[/mm]
Daran auch ein Haken.
Dann hab ich [mm] res_{\bruch{\pi}{2}}=\limes_{z\rightarrow a}\bruch{0}{1!}=0
[/mm]
Auch daran hat der Prof einen Haken gemacht. Das scheint ja dann soweit erstmal richtig zu sein, oder?
Ab jetzt hatte ich allerdings Probleme. Ich habe gehört, dass wenn man für ein Residuum den Wert 0 rausbekommt, dass dann an der entsprechenden isolierte-Singularitäten-Stelle gar keine isolierte Singularität vorliegt. Das aber ist ja ein Widerspruch zu dem, was ich oben gesagt habe, und das wurde mir natürlich auch angestrichen.
Ab nun wusste ich nicht mehr weiter. Ich hab dann noch ein bisschen mit der Cauchy-Integralformel rumprobiert, hab mich da aber verrechnet.
Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist und wie ich weitermachen müsste?
LG, Nadine
P.S.: Ich hab auf die Aufgabe 3 von 10 Punkten bekommen.
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Zur Erläuterung ein anderes Beispiel: [mm]f(z) = \frac{1}{z^2}[/mm]
Bei 0 befindet sich ein Pol der Ordnung 2, und das Residuum ist offensichtlich 0. Weiter gilt
[mm]\int_{\gamma} \frac{\mathrm{d}z}{z^2} = 0[/mm]
für jede geschlossene Kurve [mm]\gamma[/mm], die nicht durch den Ursprung verläuft (denn in [mm]F(z) = - \frac{1}{z}[/mm] besitzt [mm]f[/mm] eine Stammfunktion).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 17.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leopold_Gast.
Vielen Dank für deine Antwort. Leider hilft sie mir nicht weiter, bzw. ich sehe daran nichts erläuterndes ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Trotzdem hier erstmal meine Überlegungen zu deiner Antwort:
> Bei 0 befindet sich ein Pol der Ordnung 2,
Ja, ok. Die isolierte Singularität ist 0. An der Stelle 0 driftet der Graph ins Unendliche, also ein Pol. Da die 0 "zweifache isolierte Singularität" ist (kann man das so sagen?) ist es ein zweifacher Pol, also ein Pol von Ordnung 2. Ist das soweit richtig?
> und das Residuum ist offensichtlich 0.
Offensichtlich finde ich das herlich gesagt nicht. Ich musste das Residuum richtig ausrechen. Habe dafür die gleiche Formel genommen, mit der ich auch in der Aufgabe das Residuum bestimmt habe. Kannst du mir sagen, warum dass so offensichtlich ist?
> Weiter gilt [mm]\int_{\gamma} \frac{\mathrm{d}z}{z^2} = 0[/mm]
>
> für jede geschlossene Kurve [mm]\gamma[/mm], die nicht durch den
> Ursprung verläuft
Nicht durch den Ursprung, das ist wahrscheinlich weil die 0 Definitionslücke ist, oder? Und dass das Integral über eine geschlossene Kurve 0 ist, das ist mir auch klar.
> (denn in [mm]F(z) = - \frac{1}{z}[/mm] besitzt [mm]f[/mm] eine Stammfunktion).
Was das allerdings mit diesem Argument zu tun hat, verstehe ich nicht. Meinst du damit, dass wenn ich in die Stammfunktion den Anfangs- und den Endpunkt des Weges einsetze, dass sie sich dann aufheben und deshalb dann die 0? Also so: [mm]\int_{\gamma} \frac{\mathrm{d}z}{z^2} = F(\gamma(a)) - F(\gamma(b)) = 0[/mm] da [mm]a=b[/mm]?
So, aber irgendwie verstehe ich nicht, wie mir das ganze in der anderen Aufgabe weiterhelfen soll ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
War meine Aussage im ersten Posting denn richtig, dass wenn das Residuum 0 ist, dass dann an der entsprechenden Stelle gar keine Singularität vorliegt?
LG, Nadine
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Um das Wegintegral zu berechnen, musst du dir einen Kreis mit r=2 um z=0 vorstellen, in dem du alle Singularitäten finden musst. Zunächst mal hast du richtiger Weise die Polstelle [mm] z=\pi/2 [/mm] untersucht und dort als Residuum 0 herausgefunden.
Nun hat aber die Sinus-Funktion im Komplexen noch Singularitäten, die ebenfalls im Kreis liegen könnten. Schreibe dir die komplexe Sinus-Funktion noch mal anders auf und untersuche sie an den vorhandenen Singularitäten.
Die jeweiligen Residuen sind dann zu addieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo HJKweseleit!
> Nun hat aber die Sinus-Funktion im Komplexen noch
> Singularitäten, die ebenfalls im Kreis liegen könnten.
> Schreibe dir die komplexe Sinus-Funktion noch mal anders
> auf und untersuche sie an den vorhandenen Singularitäten.
> Die jeweiligen Residuen sind dann zu addieren.
Hmm, den Sinus anders aufschreiben... Ich kenne nur diese Formel hier: [mm] sin(z)=\bruch{1}{2i}*(e^{iz}-e^{-iz}). [/mm] Aber hier kann ich keine weiteren Singularitäten ablesen, die e-Funktion ist doch überall definiert
Hmm, ich wüsste nicht, wie ich den Sinus noch anders aufschreiben sollte. Wir haben ihn in der Vorlesung nicht behandelt, und in allen meinen Büchern finde ich zum Sinus auch nur die Formel, die ich oben hingeschrieben habe.
Ich habe mal versucht, den Sinus mit Maple zu plotten, um daran vielleicht irgendwelche Singularitäten ablesen zu können. Aber mit einem komplexen Plot klappts nicht, und mit einem reellen Plot bekomme ich nur den "normalen" Sinus. Wie sieht denn der Sinus im Komplexen aus? Habe mal im Internet versucht was zu finden, war aber nicht erfolgreich...
LG, Nadine
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> Ich habe mal versucht, den Sinus mit Maple zu plotten, um
> daran vielleicht irgendwelche Singularitäten ablesen zu
> können. Aber mit einem komplexen Plot klappts nicht, und
> mit einem reellen Plot bekomme ich nur den "normalen"
> Sinus. Wie sieht denn der Sinus im Komplexen aus?
Dies ist ein grundlegendes Problem: Der "Graph" einer [mm] $\IC\rightarrow\IC$ [/mm] Funktion lässt sich nicht mehr also so simples Bildchen darstellen wie der Graph einer [mm] $\IR\rightarrow \IR$ [/mm] Funktion. Es handelt sich ja gewissermassen um eine [mm] $\IR^2\rightarrow \IR^2$ [/mm] Abbildung.
Oft wird dargestellt, wie ein Koordinatennetz durch eine solche Funktion abgebildet wird (in Maple mit der Plotanweisung conformal).
Für weitere "Visualisierungen" der komplexen Sinusfunktion siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mo 18.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Wie sieht denn der Sinus im Komplexen aus? Habe mal
> im Internet versucht was zu finden, war aber nicht
> erfolgreich...
Vielleicht hilft dir dies weiter: Wenn du z in Real- und Imaginärteil zerlegst und die Additionstheoreme benutzt, erhälst du:
[mm] \sin z = \sin(x+iy) = \sin x \cos(iy) + \cos x \sin (iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y [/mm]
Dabei habe ich die Identitäten [mm] $\sin(iy) [/mm] = i [mm] \sinh [/mm] y $ und [mm] $\cos(iy) [/mm] = [mm] \cosh [/mm] y$ benutzt. Die bekommst du zum Besipiel so heraus:
[mm] \sin (iy) = \bruch{1}{2i} (e^{i*iy} - e^{-i*iy}) = \bruch{1}{2i} (e^{-y} - e^y}) = i \bruch{1}{2} (e^{y} - e^{-y}) = i \sinh y [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:09 Mo 18.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Um das Wegintegral zu berechnen, musst du dir einen Kreis
> mit r=2 um z=0 vorstellen, in dem du alle Singularitäten
> finden musst. Zunächst mal hast du richtiger Weise die
> Polstelle [mm]z=\pi/2[/mm] untersucht und dort als Residuum 0
> herausgefunden.
>
> Nun hat aber die Sinus-Funktion im Komplexen noch
> Singularitäten, die ebenfalls im Kreis liegen könnten.
Nein, die Sinusfunktion ist in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph, hat dort keine Singularitäten, das Gleiche gilt für den Cosinus. Das erkennt man leicht daran, dass die Exponentialfunktion in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph ist und man Sinus und Cosinus als Summe zweier Exponentialfunktionen ausdrücken kann.
Das Argument gilt nicht für Tangens und Cotangens, da ja zum Beispiel in
[mm] \tan z = \bruch{\sin z}{\cos z} [/mm]
der Nenner für bestimmte Werte von z Null werden kann.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mo 18.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Vielen Dank für deine Antwort. Leider hilft sie mir nicht
> weiter, bzw. ich sehe daran nichts erläuterndes
Die Darstellung war vielliehct ein bischen knapp.
> Trotzdem hier erstmal meine Überlegungen zu deiner
> Antwort:
>
>
>
> > Bei 0 befindet sich ein Pol der Ordnung 2,
>
> Ja, ok. Die isolierte Singularität ist 0. An der Stelle 0
> driftet der Graph ins Unendliche, also ein Pol. Da die 0
> "zweifache isolierte Singularität" ist (kann man das so
> sagen?) ist es ein zweifacher Pol, also ein Pol von Ordnung
> 2. Ist das soweit richtig?
Einen Pol einer Funktion f(z) erkennst du ganz einfach: an der Stelle [mm] $z_0$ [/mm] liegt ein Pol n-ter Ordnung vor, wenn die Funktion
[mm] (z-z_0)^nf(z) [/mm]
dort eine hebbare Singularität hat.
Im Fall von [mm] $f(z)=\bruch{1}{z^2}$ [/mm] hat [mm] $z^2*\bruch{1}{z^2}$ [/mm] offensichtlich eine hebbare Singularität in 0.
> > und das Residuum ist offensichtlich 0.
>
> Offensichtlich finde ich das herlich gesagt nicht. Ich
> musste das Residuum richtig ausrechen. Habe dafür die
> gleiche Formel genommen, mit der ich auch in der Aufgabe
> das Residuum bestimmt habe. Kannst du mir sagen, warum dass
> so offensichtlich ist?
Bedenke, wie das Residuum definiert ist: als Koeffizient des Term [mm] $\bruch{1}{z-z_0}$ [/mm] der Laurententwicklung an der Singularität (hier: [mm] $z_0=0$). [/mm] Hier hat die Funktion schon die Form [mm] $\bruch{1}{z^2}$, [/mm] also besteht die Laurententwicklung nur aus diesem einen Term. Der Term [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] kommt nicht vor, also ist der Koeffizient 0.
> > Weiter gilt [mm]\int_{\gamma} \frac{\mathrm{d}z}{z^2} = 0[/mm]
> >
> > für jede geschlossene Kurve [mm]\gamma[/mm], die nicht durch den
> > Ursprung verläuft
>
> Nicht durch den Ursprung, das ist wahrscheinlich weil die 0
> Definitionslücke ist, oder? Und dass das Integral über eine
> geschlossene Kurve 0 ist, das ist mir auch klar.
Nein, das ist zunächst überhaupt nicht klar, es sei denn die Funktion ist im gesamten Inneren des von der Kurve begrenzten Gebietes holomorph.
> > (denn in [mm]F(z) = - \frac{1}{z}[/mm] besitzt [mm]f[/mm] eine
> Stammfunktion).
>
> Was das allerdings mit diesem Argument zu tun hat, verstehe
> ich nicht.
> Meinst du damit, dass wenn ich in die
> Stammfunktion den Anfangs- und den Endpunkt des Weges
> einsetze, dass sie sich dann aufheben und deshalb dann die
> 0? Also so: [mm]\int_{\gamma} \frac{\mathrm{d}z}{z^2} = F(\gamma(a)) - F(\gamma(b)) = 0[/mm]
> da [mm]a=b[/mm]?
Schon, aber die Aussage ist viel allgemeiner: wenn eine globale Stammfunktion existiert, dann verschwinden alle Kurvenintegrale über geschlossene Wege.
> War meine Aussage im ersten Posting denn richtig, dass wenn
> das Residuum 0 ist, dass dann an der entsprechenden Stelle
> gar keine Singularität vorliegt?
Nein. Deswegen das einfachere Beispiel der Funktion [mm] $f(z)=\bruch{1}{z^2}$, [/mm] die in 0 eine Singularität hat, deren Residuum in diesem Punkt aber gleich Null ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 19.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> > War meine Aussage im ersten Posting denn richtig, dass wenn
> > das Residuum 0 ist, dass dann an der entsprechenden Stelle
> > gar keine Singularität vorliegt?
>
> Nein. Deswegen das einfachere Beispiel der Funktion
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z^2}[/mm], die in 0 eine Singularität hat, deren
> Residuum in diesem Punkt aber gleich Null ist.
Hmm, dann hat mir mein Kommilitone wohl Schwachsinn erzählt ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
Gut, da der Sinus ja dann doch keine isolierten Singularitäten besitzt, hab ich also nur eine isolierte Singularität bei [mm] z=\bruch{\pi}{2} [/mm] mit Residuum 0.
Nun brauche ich für die Integralformel ja noch die Umlaufszahl. Wenn der Kreis nur einmal durchlaufen wird, dann ist [mm] n(\Gamma,\bruch{\pi}{2})=1, [/mm] da [mm] \bruch{\pi}{2}\cong1,57 [/mm] ja innerhalb der Kreislinie liegt.
Kann ich das aus der Aufgabenstellung irgendwie ablesen, wie oft der Kreis durchlaufen wird? Da steht doch nur |z|=2. Weil wenn er m-mal durchlaufen wird, dann wäre die Umlaufszahl ja m, oder? Müsste ich das erst ausrechnen?
So, dann kann ich meine Formel ja nun zusammensetzen:
Residuensatz: [mm] \integral_{\Gamma}^{}{f(\xi) d\xi}=2i\pi*\summe_{z\inU}^{}n(\Gamma,z)*res_z(f)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{sin(z)}{(z-\bruch{\pi}{2})^2} dz}=2i\pi*n(|z|=2,\bruch{\pi}{2})*0=0
[/mm]
Ist das so richtig?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Di 19.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Gut, da der Sinus ja dann doch keine isolierten
> Singularitäten besitzt, hab ich also nur eine isolierte
> Singularität bei [mm]z=\bruch{\pi}{2}[/mm] mit Residuum 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun brauche ich für die Integralformel ja noch die
> Umlaufszahl. Wenn der Kreis nur einmal durchlaufen wird,
> dann ist [mm]n(\Gamma,\bruch{\pi}{2})=1,[/mm] da
> [mm]\bruch{\pi}{2}\cong1,57[/mm] ja innerhalb der Kreislinie liegt.
> Kann ich das aus der Aufgabenstellung irgendwie ablesen,
> wie oft der Kreis durchlaufen wird? Da steht doch nur
> |z|=2. Weil wenn er m-mal durchlaufen wird, dann wäre die
> Umlaufszahl ja m, oder? Müsste ich das erst ausrechnen?
Mit $|z|=2$ ist einmaliger Umlauf in positivem Umlaufsinn gemeint.
Das ist der interessante Fall, denn mehrfache Umläufe sind eher von theoretischem Interesse als für die konkrete Berechnung eines Integrals. Worauf du achten musst, ist die Richtung des Umlaufs; es kommt in der praktischen Rechnung schon vor, dass man mal in die andere Richtung läuft.
Aber eigentlich brauchst du das hier gar nicht, denn wie du selbst schreibst:
> Residuensatz: [mm]\integral_{\Gamma}^{}{f(\xi) d\xi}=2i\pi*\summe_{z\inU}^{}n(\Gamma,z)*res_z(f)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{sin(z)}{(z-\bruch{\pi}{2})^2} dz}=2i\pi*n(|z|=2,\bruch{\pi}{2})*0=0[/mm]
kommt sowieso 0 heraus, egal wie oft du den Kreis entlangläufst.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Ok, vielen Dank fürs Helfen 
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
In der Musterlösung zur Klausur wurde diese Aufgabe mit der allgemeinen Cauchy-Integral-Formel gelöst.
Hier erstmal die "Lösung":
[mm](2\pi i)^{-1}*I = \bruch{sin'(\bruch{\pi}{2})}{1!} = cos(\bruch{\pi}{2})=0[/mm]
So, ich schreib erstmal nochmal grad den Satz hin:
Es sei [mm] \Gamma [/mm] ein nullhomologer Zyklus im Bereich U und f eine auf U holomorphe Funktion. Für jeden Punkt [mm] z\in U-Sp(\Gamma) [/mm] und alle [mm]\ k=0,1,2,...[/mm] ist [mm] n(\Gamma,z)*f^{(k)}(z)=\bruch{k!}{2i\pi}*\integral_{\Gamma}^{}{\bruch{f(\xi)}{(\xi-z)^{k+1}} d\xi}
[/mm]
Ich bin mir aber irgendwie nicht sicher, ob ich die Formel hier wirklich anwenden kann
Also [mm]\ |z|=2[/mm] ist ja nullhomolog, weil ja alle Punkte außerhalb von [mm]\ |z|=2[/mm] die Umlaufszahl 0 haben. Jetzt bin ich aber nicht ganz sicher mit der Menge U. Ich weiß doch gar nichts darüber, wie die aussieht
Und dann soll f noch auf U holomorph sein. Da die Definitionslücke [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] doch aber im Zyklus liegt, und der Zyklus nach Vorgabe in U liegt, dann ist f doch aber nicht auf ganz U holomorph, weil f doch dann auch nicht in [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] definiert ist, oder? Und wenn f da nicht definiert ist, dann kann f doch da auch nicht holomorph sein, oder?
Und das wäre doch ein Widerspruch zur Voraussetzung der allg. Cauchy-Integral-Formel...
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mi 20.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
Mir scheint, du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht. 
> In der Musterlösung zur Klausur wurde diese Aufgabe mit der
> allgemeinen Cauchy-Integral-Formel gelöst.
>
> Hier erstmal die "Lösung":
>
> [mm](2\pi i)^{-1}*I = \bruch{sin'(\bruch{\pi}{2})}{1!} = cos(\bruch{\pi}{2})=0[/mm]
Ja, so hätte ich das auch gemacht.
> So, ich schreib erstmal nochmal grad den Satz hin:
>
> Es sei [mm]\Gamma[/mm] ein nullhomologer Zyklus im Bereich U und f
> eine auf U holomorphe Funktion. Für jeden Punkt [mm]z\in U-Sp(\Gamma)[/mm]
> und alle [mm]\ k=0,1,2,...[/mm] ist
> [mm]n(\Gamma,z)*f^{(k)}(z)=\bruch{k!}{2i\pi}*\integral_{\Gamma}^{}{\bruch{f(\xi)}{(\xi-z)^{k+1}} d\xi}[/mm]
>
>
>
> Ich bin mir aber irgendwie nicht sicher, ob ich die Formel
> hier wirklich anwenden kann
>
> Also [mm]\ |z|=2[/mm] ist ja nullhomolog, weil ja alle Punkte
> außerhalb von [mm]\ |z|=2[/mm] die Umlaufszahl 0 haben.
Das ist zwar richtig, aber für meinen Geschmack nicht anschaulich genug. Der Kreis [mm]|z|=2[/mm] ist nullhomolog in U, wenn das Innere des Kreises eine Teilmenge von U ist.
> Jetzt bin
> ich aber nicht ganz sicher mit der Menge U. Ich weiß doch
> gar nichts darüber, wie die aussieht
Wir brauchen also eine Menge U, die den Kreis vollständig einschließt.
> Und dann soll f noch auf U holomorph sein. Da die
> Definitionslücke [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] doch aber im Zyklus liegt,
> und der Zyklus nach Vorgabe in U liegt, dann ist f doch
> aber nicht auf ganz U holomorph, weil f doch dann auch
> nicht in [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] definiert ist, oder? Und wenn f da
> nicht definiert ist, dann kann f doch da auch nicht
> holomorph sein, oder?
Moment, an dieser Stelle denkst du zu kompliziert. Schreib dir doch mal das gesuchte Integral und das in der Integralformel vorkommende Integral hin und vergleiche!
Gesucht: [mm]\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{\sin(z)}{(z-\bruch{\pi}{2})^2} dz} [/mm]
Integralformel: [mm] \integral_{\Gamma}^{}{\bruch{f(\xi)}{(\xi-z)^{k+1}} d\xi}[/mm]
Also für mich drängen sich diese Zuordnungen auf:
[mm] \begin{matrix} z &\longleftrightarrow &\xi \\
\sin z & \longleftrightarrow & f(\xi) \\
\pi/2 & \longleftrightarrow & z \\
|z|=2& \longleftrightarrow & \Gamma \\
2 & \longleftrightarrow & k+1
\end{matrix} [/mm]
So: [mm] $\sin [/mm] z$ ist in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph, also ist die Voraussetzung für jedes Gebiet G, das die Kreisfläche ganz enthält, erfüllt.
Wenn du das in die linke Seite einsetzt:
[mm] n(\Gamma,z)*f^{(k)}(z) = 1*\sin'(\pi/2) = \cos(\pi/2) = 0 [/mm]
und noch den Vorfaktor [mm] $k!/(2\pi [/mm] i)$ berücksichtigst, kommst du auf die Musterlösung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Danke für deine Antwort, jetzt seh ich es!
Ich bin jetzt nur noch ein bisschen verwirrt, was die z und [mm] \xi [/mm] angeht. Also es scheint ja in der allgemeinen Cauchy-Integral-Formel genau vertauscht zu sein, im Gegensatz zu meinem Integral.
Wenn ich dass jetzt mal angleichen würde, und alle z und [mm] \xi [/mm] vertauschen würde, hätte ich dann auch [mm] n(\Gamma,\xi) [/mm] und [mm] f^{k}(\xi) [/mm] oder bleibt da dann überall x stehen?
Und von welcher Variablen genau ist jetzt mein Integral abhängig?
Also ich meine, ich könnte das Integral aus der Aufgabenstellung doch f(z) nennen, oder? Aber z.B. das Integral aus der Cauchy-Integral-Formel. Integriert wird es ja nach [mm] \xi [/mm] , aber ich könnte es ja wahrscheinlich nicht [mm] f(\xi) [/mm] nennen, weil das ja bereits im Integral drinsteht... Wäre das dann auch f(z)? Aber dann käme ich ja mit einer Umbenennung völlig durcheinander
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 24.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Ich bin jetzt nur noch ein bisschen verwirrt, was die z und
> [mm]\xi[/mm] angeht. Also es scheint ja in der allgemeinen
> Cauchy-Integral-Formel genau vertauscht zu sein, im
> Gegensatz zu meinem Integral.
Ja.
Schreib doch dein ursprüngliches Integral einfach als
[mm] \integral_{|\xi|=2}^{}{\bruch{sin(\xi)}{(\xi-\bruch{\pi}{2})^2} d\xi}[/mm],
dann passt es. Dann ist dein z gerade [mm] $\pi/2$.
[/mm]
> Wenn ich dass jetzt mal angleichen würde, und alle z und
> [mm]\xi[/mm] vertauschen würde, hätte ich dann auch [mm]n(\Gamma,\xi)[/mm]
> und [mm]f^{k}(\xi)[/mm]
Auch richtig.
Viele Grüße
Rainer
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