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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Idefix08 |
| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{}{e^{x}*cos(x)}
[/mm]
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Hallo,
bin wie folgt vorgegangen:
Durch partielle Integration
u=cos(x) u´=-sin(x)
[mm] v=e^x v´=e^x
[/mm]
[mm] cos(x)*e^{x}-\integral_{}^{}{e^{x}*-sin(x)}
[/mm]
Jetzt hab ich noch mal integriert:
u=-sin(x) u´=-cos(x)
[mm] v=e^x v´=e^x
[/mm]
[mm] cos(x)*e^{x}+sin(x)*e^{x}-\integral_{}^{}{e^{x}*-cos(x)}
[/mm]
Wie bekomme ich die Aufgabe gelöst? Gibts da nen Trick?
Könnte sonst ja bis ins unendliche weiter integrieren...
Gruß Idefix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Idefix!
Bei der 2. partiellen Integration solltest Du erst das Minusziechen vor das Integral ziehen und nur $u \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] setzen.
Anschließend erhält man auf der rechten Seite wiederum dasselbe Integral wie das Ausgangsintegral.
Damit kannst Du dann die Gleichung nach dem gesuchten Integral umstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Idefix08 |
Danke für die schnelle Antwort.
Ich kann dir folgen und erhalte dann
[mm] cos(x)*e^x+sin(x)*e^x-\integral e^x*cos(x)
[/mm]
Bloß wie stelle ich jetzt denn nach dem gesuchten Integral um?
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Hallo,
ich glaube, du hast Loddar nicht richtig verstanden. Schau dir mal in ![[]](/images/popup.gif) diesem Wikipedia-Artikel Beispiel 1 an. Genauso ist das gemeint!!
Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mi 13.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] \integral e^x\cdot{}cos(x)=cos(x)\cdot{}e^x+sin(x)\cdot{}e^x-\integral e^x\cdot{}cos(x)
[/mm]
[mm] \gdw 2*\integral e^x\cdot{}cos(x)=cos(x)\cdot{}e^x+sin(x)\cdot{}e^x
[/mm]
[mm] \gdw \integral e^x\cdot{}cos(x)=\bruch{cos(x)\cdot{}e^x+sin(x)\cdot{}e^x}{2}
[/mm]
Dieser Trick ist häufig im Zusammenhang mit [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] zu verwenden, da sich die Ableitungen wiederholen:
[mm] f(x)=\sin(x)
[/mm]
[mm] f'(x)=\cos(x)
[/mm]
[mm] f^{(2)}(x)=-\sin(x)
[/mm]
[mm] f^{(3)}(x)=-\cos(x)
[/mm]
[mm] f^{(4)}(x)=\sin(x)(=f(x))
[/mm]
Marius
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