Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Zwille |
| Aufgabe | Bestimme folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{2x}}{\wurzel{e^{x}+1}} dx} [/mm] |
Bei diesem Integral habe ich so meine Schwierigkeiten. Partielle Integration und Substitution sind mir sehr wohl bekannt und kann sie eigentlich auch anwenden. Aber bei dieser Funktion habe ich so meine Problem. Könnt ihr mir vll. ein paar Tipps geben.
Ich glaube, dass partiell nicht integriert werden kann, zumindest komme ich da nicht weiter, aber ich wüsste auch nicht, was ich substituieren sollte.
Danke für jeden Tipp
Gruß
Zwille
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Hallo Zwille,
> Bestimme folgendes Integral:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{e^{2x}}{\wurzel{e^{x}+1}} dx}[/mm]
>
> Bei diesem Integral habe ich so meine Schwierigkeiten.
> Partielle Integration und Substitution sind mir sehr wohl
> bekannt und kann sie eigentlich auch anwenden. Aber bei
> dieser Funktion habe ich so meine Problem. Könnt ihr mir
> vll. ein paar Tipps geben.
Substituiere hier: [mm]z=e^{x}[/mm]
>
> Ich glaube, dass partiell nicht integriert werden kann,
> zumindest komme ich da nicht weiter, aber ich wüsste auch
> nicht, was ich substituieren sollte.
>
> Danke für jeden Tipp
> Gruß
> Zwille
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Zwille |
Danke,
der Tipp hat mir sehr geholfen, hätte man auch drauf kommen können Trotzdem nochmal zur Kontrolle:
Also ich substituiere [mm] z:=e^{x}.
[/mm]
Damit ergibt sich (nachdem man ein bisschen rumgerechnet hat):
[mm] \integral_{\bruch{1}{\wurzel{2}}}^{\bruch{e^{2}}{\wurzel{e+1}}}{\bruch{z}{\wurzel{z+1}}*\bruch{1}{z} dz}
[/mm]
Stimmt das soweit schonmal?
Und als Endergebnis habe ich dann allerdings eine "unschöne" Lösung:
[mm] 2*(\wurzel{\bruch{e^2}{\wurzel{e+1}}+1}-\wurzel{\bruch{1}{\wurzel{2}}+1})
[/mm]
Also wenn das stimmt, dann bin ich auch glücklich, wenn das nicht stimmt, dann muss ich wohl nochmal rechnen.
gruß
zwille
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Hallo Zwille,
> Danke,
> der Tipp hat mir sehr geholfen, hätte man auch drauf
> kommen können Trotzdem nochmal zur Kontrolle:
>
> Also ich substituiere [mm]z:=e^{x}.[/mm]
>
> Damit ergibt sich (nachdem man ein bisschen rumgerechnet
> hat):
>
> [mm]\integral_{\bruch{1}{\wurzel{2}}}^{\bruch{e^{2}}{\wurzel{e+1}}}{\bruch{z}{\wurzel{z+1}}*\bruch{1}{z} dz}[/mm]
>
> Stimmt das soweit schonmal?
Leider nicht.
[mm]z=e^{x} \Rightarrow dz=e^{x} \ dx= z \ dx \Rightarrow dx = \bruch{1}{z} \ dz[/mm]
Sowie [mm]e^{2x}=\left(e^{x}\right)^{2}=z^{2}[/mm]
Und die Grenzen:
[mm]x_{0}=0 \Rightarrow z_{0}=e^{x_{0}}=1[/mm]
[mm]x_{1}=1 \Rightarrow z_{0}=e^{x_{0}}=e[/mm]
Damit wird
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{e^{2x}}{\wurzel{e^{x}+1}} \ dx}=\integral_{1}^{e}{\bruch{z^{2}}{\wurzel{z+1}} \bruch{1}{z }\ dz}=\integral_{1}^{e}{\bruch{z}{\wurzel{z+1}} \ dz}[/mm]
> Und als Endergebnis habe ich dann allerdings eine
> "unschöne" Lösung:
>
> [mm]2*(\wurzel{\bruch{e^2}{\wurzel{e+1}}+1}-\wurzel{\bruch{1}{\wurzel{2}}+1})[/mm]
>
> Also wenn das stimmt, dann bin ich auch glücklich, wenn das
> nicht stimmt, dann muss ich wohl nochmal rechnen.
>
> gruß
> zwille
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Zwille |
Das kommt davon, wenn man Mathe immer so spät abends macht, da unterschägt man gerne mal etwas. Also ich habe jetzt noch einmal nachgerechnet mit folgendem Integral:
[mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{z}{\wurzel{z+1}} dz}.
[/mm]
Mit Hilfe der part. Integration konnte ich dann auch weiterrechnen, undzwar wie folgt:
[mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{z}{\wurzel{z+1}} dz} [/mm] = ... = [mm] 2*e*\wurzel{e+1} [/mm] - [mm] \wurzel{8} [/mm] - [mm] (2*\wurzel{e+1}-\wurzel{8}) [/mm] = [mm] 2*\wurzel{e+1}*(e-1)
[/mm]
Dabei bin ich wie folgt vorgegangen:
(i) Anwendung der part. Integration, wobei ich z:=f(z) und [mm] (z+1)^{-\bruch{1}{2}}:=g'(z) [/mm] gesetzt habe.
(ii) Die Stammfunktion von [mm] (z+1)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ist: [mm] 2*(z+1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Und damit kam ich dann auf die oben genannte Lösung. Fehler will ich aber aufgrund der etwas späteren Stunde nicht ausschließen ;)
gruß
zwille
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Hallo Zwille,
> Das kommt davon, wenn man Mathe immer so spät abends macht,
> da unterschägt man gerne mal etwas. Also ich habe jetzt
> noch einmal nachgerechnet mit folgendem Integral:
>
> [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{z}{\wurzel{z+1}} dz}.[/mm]
>
> Mit Hilfe der part. Integration konnte ich dann auch
> weiterrechnen, undzwar wie folgt:
>
> [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{z}{\wurzel{z+1}} dz}[/mm] = ... =
> [mm]2*e*\wurzel{e+1}[/mm] - [mm]\wurzel{8}[/mm] - [mm](2*\wurzel{e+1}-\wurzel{8})[/mm]
> = [mm]2*\wurzel{e+1}*(e-1)[/mm]
>
> Dabei bin ich wie folgt vorgegangen:
> (i) Anwendung der part. Integration, wobei ich z:=f(z) und
> [mm](z+1)^{-\bruch{1}{2}}:=g'(z)[/mm] gesetzt habe.
> (ii) Die Stammfunktion von [mm](z+1)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ist:
> [mm]2*(z+1)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Und damit kam ich dann auf die oben genannte Lösung. Fehler
> will ich aber aufgrund der etwas späteren Stunde nicht
> ausschließen ;)
[mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{z}{\wurzel{z+1}} dz} = \left[2z*\wurzel{z+1}\right]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{2\wurzel{z+1}\ dz}[/mm]
[mm]=\left[2z*\wurzel{z+1}\right]_{1}^{e}-\left[\bruch{4}{3}\wurzel{\left(z+1\right)^{3}}\right]_{1}^{e}[/mm]
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> gruß
> zwille
Gruß
MathePower
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