Integral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] k\in \IZ. [/mm] Berechne ohne Verwendung der Cauchyformel das Integral
[mm] \int_{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k}, [/mm] dz, wobei S(0,1) positiv orientiert ist. |
Ich hab das ganze mal parametrisiert mit [mm] z=e^{it} [/mm] und komme auf
[mm] \int_{0}^{2\pi}\frac{e^{e^{it}}}{e^{itk}}*ie^{it}dt
[/mm]
= [mm] i*\int_{0}^{2\pi}e^{e^{it}}*e^{t(i-ik)}dt
[/mm]
= [mm] i*\int_{0}^{2\pi}e^{e^{it}+t(i-ik)}dt
[/mm]
weiss nicht genau wie ich weiterkomme. Könnte [mm] e^{it} [/mm] als cosinus und sinus schreiben....aber das bringt mich auch nicht weiter oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 So 06.08.2017 | | Autor: | fred97 |
1. Die Reihe [mm] \frac{e^z}{z^k}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!} [/mm] konvergiert lokal gleichmäßig, d.h. gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge von [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] , insbesondere auf [mm] \{z: |z|=1\}.
[/mm]
2. Berechne nur mit der Definition des Wegintegrals für j [mm] \in \IZ:
[/mm]
(a) $ [mm] \int_{S(0,1)}z^j [/mm] dz$ für $j [mm] \ne [/mm] -1$
und
(b) $ [mm] \int_{S(0,1)}z^{-1} [/mm] dz$.
Zu Kontrolle: in (a) solltest Du 0 bekommen und in (b) den Wert $2 [mm] \pi [/mm] i$.
Wie bekommst Du nun mit diesen Tipps das Integral
$ [mm] \int_{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} [/mm] dz$ ?
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> 1. Die Reihe
> [mm]\frac{e^z}{z^k}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
> konvergiert lokal gleichmäßig, d.h. gleichmäßig auf
> jeder kompakten Teilmenge von [mm]\IC,[/mm] insbesondere auf [mm]\{z: |z|=1\}.[/mm]
>
> 2. Berechne nur mit der Definition des Wegintegrals für j
> [mm]\in \IZ:[/mm]
>
> (a) [mm]\int_{S(0,1)}z^j dz[/mm] für [mm]j \ne -1[/mm]
>
> und
>
> (b) [mm]\int_{S(0,1)}z^{-1} dz[/mm].
>
> Zu Kontrolle: in (a) solltest Du 0 bekommen und in (b) den
> Wert [mm]2 \pi i[/mm].
>
> Wie bekommst Du nun mit diesen Tipps das Integral
>
> [mm]\int_{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz[/mm] ?
das ist die Frage. Das Integral in b) hatten wir bereits in der Vorlesung berechnet und in a) habe ich 0 raus.
ich vermute mal, dass das gesuchte Integral auch Null ergibt für n-k [mm] \ne [/mm] 0 und wenn n+1=k wäre es [mm] 2*\pi*i [/mm] ?! Allerdings verwirrt mich das n! im Nenner noch, oder spielt das hier keine so große Rolle?
Ich gehe gerade die Sätze und Korollare durch, die wir in der Vorlesung hatten. Es hat wahrscheinlich seinen Grund, warum du noch einmal betonst, dass die Reihe lokal gleichmässig konvergiert, vorallem wenn |z|=1...
Was mich noch verwirrt ist, dass ich ja jetzt wenn ich das Integral suche, nicht weiss wie man das Integral von einer Summe berechnet, denn
[mm] \int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k}=\int _{S(0,1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}
[/mm]
und wenn ich das mit dem vergleiche, was du geschrieben hast, so müsste ja [mm] z^j=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}
[/mm]
Ich weiß gar nicht mehr weiter leider :-(
In meinen Sätzen ist von holomorphen FUnktionen die Rede, aber ich hab ja hier ein Integral...?! Eventuell könnte man schauen ob das innere des Integrals, also sprich [mm] z^j [/mm] holomorph ist und dann Aussagen treffen?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Mo 07.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> > 1. Die Reihe
> > [mm]\frac{e^z}{z^k}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
> > konvergiert lokal gleichmäßig, d.h. gleichmäßig auf
> > jeder kompakten Teilmenge von [mm]\IC,[/mm] insbesondere auf [mm]\{z: |z|=1\}.[/mm]
>
> >
> > 2. Berechne nur mit der Definition des Wegintegrals für j
> > [mm]\in \IZ:[/mm]
> >
> > (a) [mm]\int_{S(0,1)}z^j dz[/mm] für [mm]j \ne -1[/mm]
> >
> > und
> >
> > (b) [mm]\int_{S(0,1)}z^{-1} dz[/mm].
> >
> > Zu Kontrolle: in (a) solltest Du 0 bekommen und in (b) den
> > Wert [mm]2 \pi i[/mm].
> >
> > Wie bekommst Du nun mit diesen Tipps das Integral
> >
> > [mm]\int_{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz[/mm] ?
> das ist die Frage. Das Integral in b) hatten wir bereits in
> der Vorlesung berechnet und in a) habe ich 0 raus.
Das stimmt.
> ich vermute mal, dass das gesuchte Integral auch Null
> ergibt für n-k [mm]\ne[/mm] 0 und wenn n+1=k wäre es [mm]2*\pi*i[/mm] ?!
Dieses n ist doch der Summationsindex ! Das Integral wird kaum von n abhängen. Es hängt von k ab.
> Allerdings verwirrt mich das n! im Nenner noch, oder spielt
> das hier keine so große Rolle?
Entweder es spielt eine Rolle oder nicht. "Es spielt ein klein wenig eine Rolle" gibts nicht !
> Ich gehe gerade die Sätze und Korollare durch, die wir in
> der Vorlesung hatten. Es hat wahrscheinlich seinen Grund,
> warum du noch einmal betonst, dass die Reihe lokal
> gleichmässig konvergiert, vorallem wenn |z|=1...
Oh ja, das hat seinen Grund.
> Was mich noch verwirrt ist, dass ich ja jetzt wenn ich das
> Integral suche, nicht weiss wie man das Integral von einer
> Summe berechnet, denn
>
> [mm]\int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k}=\int _{S(0,1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
Das ist der Knackpunkt. Wegen der gleichmäßigen Konvergenz auf [mm] \{z: |z|=1\} [/mm] ist
[mm]\int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz=\int _{S(0,1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}dz =\sum_{n=0}^{\infty}\int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz [/mm]
Vertauschung von Summation und Integration. Das sollten die Sätze und Korollare allerdings hergeben. Hast Du sowas nicht gefunden ?
Mit den Tipps von oben ist
[mm] \int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz=0 [/mm] für n-k [mm] \ne [/mm] -1, also für n [mm] \ne [/mm] k-1
und
[mm] \int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz= \frac{2 \pi i}{(k-1)!} [/mm] für n=k-1.
Fazit: [mm] $\int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz=\frac{2 \pi i}{(k-1)!} [/mm] $
>
> und wenn ich das mit dem vergleiche, was du geschrieben
> hast, so müsste ja
> [mm]z^j=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
Oh je ! Mit Verlaub, fällt Dir nicht auf, dass das völliger Unsinn ist ?
>
> Ich weiß gar nicht mehr weiter leider :-(
> In meinen Sätzen ist von holomorphen FUnktionen die Rede,
> aber ich hab ja hier ein Integral...?!
Echt ?
> Eventuell könnte
> man schauen ob das innere des Integrals, also sprich [mm]z^j[/mm]
> holomorph ist und dann Aussagen treffen?!
Ja, das könnte man .... , ist aber völlig daneben.
>
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> > > 1. Die Reihe
> > > [mm]\frac{e^z}{z^k}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
> > > konvergiert lokal gleichmäßig, d.h. gleichmäßig auf
> > > jeder kompakten Teilmenge von [mm]\IC,[/mm] insbesondere auf [mm]\{z: |z|=1\}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > 2. Berechne nur mit der Definition des Wegintegrals für j
> > > [mm]\in \IZ:[/mm]
> > >
> > > (a) [mm]\int_{S(0,1)}z^j dz[/mm] für [mm]j \ne -1[/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > > (b) [mm]\int_{S(0,1)}z^{-1} dz[/mm].
> > >
> > > Zu Kontrolle: in (a) solltest Du 0 bekommen und in (b) den
> > > Wert [mm]2 \pi i[/mm].
> > >
> > > Wie bekommst Du nun mit diesen Tipps das Integral
> > >
> > > [mm]\int_{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz[/mm] ?
> > das ist die Frage. Das Integral in b) hatten wir bereits in
> > der Vorlesung berechnet und in a) habe ich 0 raus.
>
>
> Das stimmt.
>
>
> > ich vermute mal, dass das gesuchte Integral auch Null
> > ergibt für n-k [mm]\ne[/mm] 0 und wenn n+1=k wäre es [mm]2*\pi*i[/mm] ?!
>
> Dieses n ist doch der Summationsindex ! Das Integral wird
> kaum von n abhängen. Es hängt von k ab.
ups, da hab ich mich verschrieben. Ich meinte natürlich falls n-k [mm] \ne [/mm] -1....
>
>
> > Allerdings verwirrt mich das n! im Nenner noch, oder spielt
> > das hier keine so große Rolle?
>
> Entweder es spielt eine Rolle oder nicht. "Es spielt ein
> klein wenig eine Rolle" gibts nicht !
>
>
> > Ich gehe gerade die Sätze und Korollare durch, die wir in
> > der Vorlesung hatten. Es hat wahrscheinlich seinen Grund,
> > warum du noch einmal betonst, dass die Reihe lokal
> > gleichmässig konvergiert, vorallem wenn |z|=1...
>
>
> Oh ja, das hat seinen Grund.
>
>
> > Was mich noch verwirrt ist, dass ich ja jetzt wenn ich das
> > Integral suche, nicht weiss wie man das Integral von einer
> > Summe berechnet, denn
> >
> > [mm]\int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k}=\int _{S(0,1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
>
>
>
> Das ist der Knackpunkt. Wegen der gleichmäßigen
> Konvergenz auf [mm]\{z: |z|=1\}[/mm] ist
>
> [mm]\int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz=\int _{S(0,1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}dz =\sum_{n=0}^{\infty}\int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz[/mm]
>
> Vertauschung von Summation und Integration. Das sollten die
> Sätze und Korollare allerdings hergeben. Hast Du sowas
> nicht gefunden ?
>
Doch, die Vertauschung ist möglich, wenn wir es mit gleichmäßiger Konvergenz zu tun haben. Aber muss ich das nicht vorher beweisen? Oder ist das so trivial?
>
> Mit den Tipps von oben ist
>
> [mm]\int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz=0[/mm] für n-k [mm]\ne[/mm] -1, also
> für n [mm]\ne[/mm] k-1
>
> und
>
> [mm]\int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz= \frac{2 \pi i}{(k-1)!}[/mm]
> für n=k-1.
>
> Fazit: [mm]\int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz=\frac{2 \pi i}{(k-1)!}[/mm]
>
>
Warum tritt im Endeffekt nur der Fall ein, dass n=k-1? Das ist mir noch nicht klar. Hat das was mit S(0,1) zu tun?
> >
> > und wenn ich das mit dem vergleiche, was du geschrieben
> > hast, so müsste ja
> > [mm]z^j=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
>
>
> Oh je ! Mit Verlaub, fällt Dir nicht auf, dass das
> völliger Unsinn ist ?
>
Bisschen freundlicher geht's nicht? 
>
> >
> > Ich weiß gar nicht mehr weiter leider :-(
> > In meinen Sätzen ist von holomorphen FUnktionen die
> Rede,
> > aber ich hab ja hier ein Integral...?!
>
> Echt ?
>
>
> > Eventuell könnte
> > man schauen ob das innere des Integrals, also sprich [mm]z^j[/mm]
> > holomorph ist und dann Aussagen treffen?!
>
> Ja, das könnte man .... , ist aber völlig daneben.
>
Ahja :D
>
> >
>
Vielen Dank für die Rückmeldung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Di 08.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> > > > 1. Die Reihe
> > > > [mm]\frac{e^z}{z^k}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
> > > > konvergiert lokal gleichmäßig, d.h. gleichmäßig auf
> > > > jeder kompakten Teilmenge von [mm]\IC,[/mm] insbesondere auf [mm]\{z: |z|=1\}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > 2. Berechne nur mit der Definition des Wegintegrals für j
> > > > [mm]\in \IZ:[/mm]
> > > >
> > > > (a) [mm]\int_{S(0,1)}z^j dz[/mm] für [mm]j \ne -1[/mm]
> > > >
> > > > und
> > > >
> > > > (b) [mm]\int_{S(0,1)}z^{-1} dz[/mm].
> > > >
> > > > Zu Kontrolle: in (a) solltest Du 0 bekommen und in (b) den
> > > > Wert [mm]2 \pi i[/mm].
> > > >
> > > > Wie bekommst Du nun mit diesen Tipps das Integral
> > > >
> > > > [mm]\int_{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz[/mm] ?
> > > das ist die Frage. Das Integral in b) hatten wir bereits in
> > > der Vorlesung berechnet und in a) habe ich 0 raus.
> >
> >
> > Das stimmt.
> >
> >
> > > ich vermute mal, dass das gesuchte Integral auch Null
> > > ergibt für n-k [mm]\ne[/mm] 0 und wenn n+1=k wäre es [mm]2*\pi*i[/mm] ?!
> >
> > Dieses n ist doch der Summationsindex ! Das Integral wird
> > kaum von n abhängen. Es hängt von k ab.
> ups, da hab ich mich verschrieben. Ich meinte natürlich
> falls n-k [mm]\ne[/mm] -1....
> >
> >
> > > Allerdings verwirrt mich das n! im Nenner noch, oder spielt
> > > das hier keine so große Rolle?
> >
> > Entweder es spielt eine Rolle oder nicht. "Es spielt ein
> > klein wenig eine Rolle" gibts nicht !
> >
> >
> > > Ich gehe gerade die Sätze und Korollare durch, die wir in
> > > der Vorlesung hatten. Es hat wahrscheinlich seinen Grund,
> > > warum du noch einmal betonst, dass die Reihe lokal
> > > gleichmässig konvergiert, vorallem wenn |z|=1...
> >
> >
> > Oh ja, das hat seinen Grund.
> >
> >
> > > Was mich noch verwirrt ist, dass ich ja jetzt wenn ich das
> > > Integral suche, nicht weiss wie man das Integral von einer
> > > Summe berechnet, denn
> > >
> > > [mm]\int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k}=\int _{S(0,1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Das ist der Knackpunkt. Wegen der gleichmäßigen
> > Konvergenz auf [mm]\{z: |z|=1\}[/mm] ist
> >
> > [mm]\int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz=\int _{S(0,1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}dz =\sum_{n=0}^{\infty}\int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz[/mm]
>
> >
> > Vertauschung von Summation und Integration. Das sollten die
> > Sätze und Korollare allerdings hergeben. Hast Du sowas
> > nicht gefunden ?
> >
> Doch, die Vertauschung ist möglich, wenn wir es mit
> gleichmäßiger Konvergenz zu tun haben. Aber muss ich das
> nicht vorher beweisen? Oder ist das so trivial?
Ihr hattet sicher einen Satz über Laurentreihen, der in unserem Fall besagt: die Reihe
$ [mm] \frac{e^z}{z^k}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!} [/mm] $
konvergiert lokal glm. auf [mm] $\IC \setminus \{0\}$. [/mm] Wenn nicht, so machen wirs zu Fuß: wir benötigen nur die glm. Konvergenz obiger Reihe für |z|=1. Für solche z ist
[mm] |\frac{z^{n-k}}{n!}| =\frac{1}{n!} [/mm] .
Da [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} [/mm] konvergiert folgt aus dem Kriterium von Weierstraß das Gewünschte.
> >
> > Mit den Tipps von oben ist
> >
> > [mm]\int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz=0[/mm] für n-k [mm]\ne[/mm] -1, also
> > für n [mm]\ne[/mm] k-1
> >
> > und
> >
> > [mm]\int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz= \frac{2 \pi i}{(k-1)!}[/mm]
> > für n=k-1.
> >
> > Fazit: [mm]\int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz=\frac{2 \pi i}{(k-1)!}[/mm]
>
> >
> >
> Warum tritt im Endeffekt nur der Fall ein, dass n=k-1? Das
> ist mir noch nicht klar. Hat das was mit S(0,1) zu tun?
Wir hatten doch:
$ [mm] \int _{S(0,1)}\frac{e^z}{z^k} dz=\int _{S(0,1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}dz =\sum_{n=0}^{\infty}\int _{S(0,1)}\frac{z^{n-k}}{n!}dz [/mm] $
und in der Reihe rechts sind alle Summanden =0 bis auf den mit n=k-1.
> > >
> > > und wenn ich das mit dem vergleiche, was du geschrieben
> > > hast, so müsste ja
> > > [mm]z^j=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm]
> >
> >
> > Oh je ! Mit Verlaub, fällt Dir nicht auf, dass das
> > völliger Unsinn ist ?
> >
> Bisschen freundlicher geht's nicht?
Ich war nicht unfreundlich, nur deutlich.
Überleg doch mal, was es bedeuten würde , wenn [mm]z^j=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm] wäre.
Links kommt j vor, rechts nicht. Rechts kommt k vor, links nicht.
Aus [mm]z^j=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-k}}{n!}[/mm] würde zudem folgen
[mm] z^{j-k}= e^z
[/mm]
Siehst Du jetzt ,dass das Unfug ist ?
> >
> > >
> > > Ich weiß gar nicht mehr weiter leider :-(
> > > In meinen Sätzen ist von holomorphen FUnktionen die
> > Rede,
> > > aber ich hab ja hier ein Integral...?!
> >
> > Echt ?
> >
> >
> > > Eventuell könnte
> > > man schauen ob das innere des Integrals, also sprich [mm]z^j[/mm]
> > > holomorph ist und dann Aussagen treffen?!
> >
> > Ja, das könnte man .... , ist aber völlig daneben.
> >
> Ahja :D
> >
> > >
> >
> Vielen Dank für die Rückmeldung!
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