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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Sa 10.09.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Helferinnen und Helfer!
Ich habe hier mal wieder eine Aufgabe (diesmal gehts ums Integrieren) und wüsste gerne, ob ich wohl richtig liege.
Die Aufgabe:
Es gelte [mm]b>a>0[/mm]. Man berechne folgendes Integral:
[mm]\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} \, dx[/mm].
Folgender Tipp ist dabei gegeben:
Man schreibe den Integranden in der Form [mm]\int_a^b[\hdots] \, dy[/mm]. |
Zunächst habe ich den Tipp versucht anzuwenden und habe mir dazu als ersten Schritt dies hier notiert:
[mm]\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}=\left[-\frac{e^{-yx}}{x}\right]_a^b[/mm]
Daraus folgt:
[mm]\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}=\int_a^b e^{-yx} \, dy[/mm]
Damit lautet das zu berechnende Integral nun:
[mm]\int_0^{\infty}\left(\int_a^b e^{-yx} \, dy\right)\, dx[/mm]
Als nächstes habe ich mir überlegt, dass man an dieser Stelle vielleicht Fubini bemühen könnte, d.h., man tauscht alles ein bisschen und steht dann bei:
[mm]\int_a^b\left(\int_0^{\infty}e^{-yx} \, dx\right) \, dy[/mm]
Nun nimmt ja y nur Werte an, die größer als Null sind und daher kann man wohl das innere Integral berechnen als [mm]\frac{1}{y}[/mm].
Wenn ich dann damit das äußere Integral berechne, komme ich auf [mm]\ln\left(\frac{b}{a}\right)+\operatorname{Konstante}[/mm].
Das ist meine Lösung für das ursprüngliche Integral, von der ich sehr gerne wüsste, ob sie stimmt.
Ich würde mich sehr über eine Reaktion dazu freuen und bis dahin liebe Grüße!
mikexx
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Das Ergebnis scheint richtig zu sein, aber ich denke, dass
an der unteren Integrationsgrenze für x (also für [mm] x\downarrow0) [/mm] noch
gewisse Zusatzüberlegungen nötig sind.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 10.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Achso, weil im Nenner x steht und dann ja durch 0 geteilt würde.
Was könntest Du mir da an "Zusatzüberlegungen" anbieten?
Mir fehlt nämlich gerade jeglicher Ansatz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Sa 10.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Die Konstante ist hier natürlich falsch, es ist ja ein bestimmtes Integral.
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siehe
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1459976
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> Achso, weil im Nenner x steht und dann ja durch 0 geteilt
> würde.
>
> Was könntest Du mir da an "Zusatzüberlegungen" anbieten?
> Mir fehlt nämlich gerade jeglicher Ansatz.
Naja, geübt bin ich in solchen Dingen keineswegs (mehr).
Das gegebene Integral
$ [mm] \int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} \, [/mm] dx $
ist aber jedenfalls doppelt "uneigentlich" an seinen beiden
Grenzen. Glücklicherweise strebt aber der Integrand an
beiden Enden des Integrationsintervalls so gut gegen 0,
dass keine "bleibenden Schäden" zu befürchten sind. Aller-
dings kann man das Integral aber nicht in die Differenz
zweier Integrale
$ [mm] \int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}}{x} \, [/mm] dx\ -\ [mm] \int_0^{\infty}\frac{e^{-bx}}{x} \, [/mm] dx $
zerlegen, da diese beide divergieren.
Der Satz von Fubini wird aber zunächst nur für kompakte
Intervalle bewiesen. Also müsste man da wohl zuerst anstelle
des Intervalls [mm] [\,0\,...\,\infty\,] [/mm] ein Intervall [mm] [\,\varepsilon\,...\,K\,] [/mm] betrachten.
Das macht dann die gesamten Rechnungen etwas umständlich.
Ich weiß aber nicht, wie weit solche Überlegungen von euch
erwartet werden.
LG Al-Chw.
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