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Integral ausrechnen?: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Do 23.06.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo Leute,

da bin ich mal wieder.

Ich habe vor paar Tagen schon 2 Aufgaben wo es darum geht das Integral auszurechnen, hier ins Forum geschrieben.

Ich habe noch eine, bei der ich ganz recht nicht weiß...

Let f: [mm] [-2,2]\times[-2,2] \to \IR [/mm] be defined by


[mm] f(x,y)=\begin{cases} \wurzel{1-x^2-y^2}, & \mbox{if } x^2+y^2 \le 1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{if } x^2+y^2 > 1 \mbox{ } \end{cases} [/mm]

Calculate  [mm] \integral_{-2}^{2} \integral_{-2}^{2} [/mm] f(x,y) dydx

Muss man hier zuerst so integrieren?

[mm] \integral_{-2}^{2} {\wurzel{1-x^2-y^2} dx} [/mm]
Und dann was ich hier rausbekomme nach dy integrieren?

Wenn ja, wie mach ich das mit der Wurzel??

Danke!!!

        
Bezug
Integral ausrechnen?: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Do 23.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin,

> Calculate  [mm]\integral_{-2}^{2} \integral_{-2}^{2}[/mm] f(x,y)
> dydx
>  
> Muss man hier zuerst so integrieren?
>  
> [mm]\integral_{-2}^{2} {\wurzel{1-x^2-y^2} dx}[/mm]
>  Und dann was
> ich hier rausbekomme nach dy integrieren?
>  
> Wenn ja, wie mach ich das mit der Wurzel??

So ist es.
Das Problem mit der Wurzel löst Du mit Hilfe der Substitution

[mm]\begin{gathered} x\; = \;r\;\cos \;t \hfill \\ y\; = \;r\;\sin \;t \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Dann folgt:

[mm]\int\limits_0^1 {\int\limits_0^{2\pi } {r\;\sqrt {1\; - \;r^2 } } } \; dr\;d\varphi [/mm]

Natürlich kannst Du das auch nacheinander machen. Da brauchst Du da
aber eine andere Substitution.

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Integral ausrechnen?: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Do 23.06.2005
Autor: Prinzessin83

Danke für die Antwort.

Also durch deine Hilfe habe ich
[mm] \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{2\pi } {r\;\sqrt {1\; - \;r^2 } } } \; dr\;d\varphi [/mm]

Mich verwirrt grad wo das r sin t und r cos t bleibt ?!

Und hier habe ich wieder eine Wurzel von der ich die Stammfunktion nehmen muss?
Oder muss man das noch irgendwie anders umformen?

Bezug
                        
Bezug
Integral ausrechnen?: Ableitung mal Funktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Do 23.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin,

> Also durch deine Hilfe habe ich
>   [mm]\int\limits_0^1 {\int\limits_0^{2\pi } {r\;\sqrt {1\; - \;r^2 } } } \; dr\;d\varphi[/mm]
>  
> Mich verwirrt grad wo das r sin t und r cos t bleibt ?!
>  
> Und hier habe ich wieder eine Wurzel von der ich die
> Stammfunktion nehmen muss?

der Integrand ist von der Gestalt [mm]f'\*f[/mm]. Die Stammfunktion hiervon solltest Du berechnen können.

Gruß
MathePower

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Bezug
Integral ausrechnen?: Rückfrage 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Do 23.06.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo,

meinst du mit f die Funktion
[mm] r*\wurzel{1-r^2} [/mm] ?

Dann hätte ich

f'*f
[mm] =-\bruch{r}{\wurzel{1-r^2}}*r*\wurzel{1-r^2} [/mm]
[mm] =-r^2 [/mm]

Das kann aber nicht sein oder?

Bezug
                                        
Bezug
Integral ausrechnen?: Andere Funktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Do 23.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin,

> Hallo,
>  
> meinst du mit f die Funktion
>  [mm]r*\wurzel{1-r^2}[/mm] ?
>  
> Dann hätte ich
>  
> f'*f
>  [mm]=-\bruch{r}{\wurzel{1-r^2}}*r*\wurzel{1-r^2}[/mm]
>  [mm]=-r^2[/mm]
>  
> Das kann aber nicht sein oder?

ich meine als f den Ausdruck unter der Wurzel.

Dann steht dann da: [mm]f' * f^{0.5}[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Integral ausrechnen?: Stammfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Do 23.06.2005
Autor: Prinzessin83

Vielleicht verstehe ich jetzt was vollkommen falsch.

Also du sagtest f ist der Ausdruck unter der Wurzel, also [mm] 1-r^2 [/mm]
Dann hast du ja noch gesagt, dass der Integrand von der Gestalt f'*f ist.

Demnach ist ja [mm] f'*f=-2r*(1-r^2)=-2r+r^4 [/mm] ?

Denn was passiert mit dem r vor der Wurzel?

Bezug
                                                        
Bezug
Integral ausrechnen?: Stammfunktion - Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Do 23.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin,

> Also du sagtest f ist der Ausdruck unter der Wurzel, also
> [mm]1-r^2[/mm]
>  Dann hast du ja noch gesagt, dass der Integrand von der
> Gestalt f'*f ist.
>  
> Demnach ist ja [mm]f'*f=-2r*(1-r^2)=-2r+r^4[/mm] ?

ich meinte sowas

[mm]\iint { - \frac{1} {2}\;f'(r)\;}\sqrt {f(r)} \;dr\;d\varphi [/mm]

Die Stammfunktion von [mm] - \frac{1}{2}\;f'(r)\sqrt {f(r)} [/mm] ist dann [mm] - \frac{1} {3}\;\sqrt[3]{{f(r)}}[/mm]

Gruß
MathePower





Bezug
                                                                
Bezug
Integral ausrechnen?: Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Do 23.06.2005
Autor: Prinzessin83

Also, wenn man jetzt berechnet:

[mm] \integral_{0}^{2\pi} {r*\wurzel{1-r^2} dr} [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{2\pi} {-0.5*f'(r)\wurzel{f(r)} dr} [/mm]

[mm] =[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{f(r)}]_{0}^{2\pi} [/mm]

[mm] =[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{2\pi} [/mm]

Ist das so richtig?

Weiter würde ich dann so machen

[mm] -\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-2\pi^2}-(-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-0^2}) [/mm]

[mm] =-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-2\pi^2}+\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1} [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Integral ausrechnen?: Grenzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Do 23.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin,

> Also, wenn man jetzt berechnet:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {r*\wurzel{1-r^2} dr}[/mm]

Es muss heißen:

[mm]\integral_{0}^{1} {r*\wurzel{1-r^2} dr}[/mm]

Die anderen Grenzen sind für den Winkel [mm]\varphi[/mm]

>  
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi} {-0.5*f'(r)\wurzel{f(r)} dr}[/mm]
>  
> [mm]=[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{f(r)}]_{0}^{2\pi}[/mm]
>  
> [mm]=[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{2\pi}[/mm]
>  

Demzufolge dann auch:

[mm]=[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{1}[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Integral ausrechnen?: 2 Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Do 23.06.2005
Autor: Prinzessin83

Danke!!

[mm] =[-\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{1} [/mm]
[mm] =-\bruch{1}{3}*0-(-\bruch{1}{3}*1) [/mm]
[mm] =\bruch{1}{3} [/mm]

Bei anderen Aufgaben zuvor müsste ich demnach jetzt

[mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{3} d\varphi} [/mm]

ausrechnen.

Wie bekomme ich die andere Variable?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Integral ausrechnen?: ok
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Do 23.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin,

> Danke!!
>  
> [mm]=[-\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{1}[/mm]
>  [mm]=-\bruch{1}{3}*0-(-\bruch{1}{3}*1)[/mm]
>  [mm]=\bruch{1}{3}[/mm]

[ok]

>  
> Bei anderen Aufgaben zuvor müsste ich demnach jetzt
>  
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{3} d\varphi}[/mm]
>  
> ausrechnen.
>  
> Wie bekomme ich andere Variable?

Das ist keine mehr von [mm]\varphi[/mm] abhängige Funktion.
Einfach die Konstante hier nach  [mm]\varphi[/mm] integrieren. Grenzen einsetzen und fertig.

Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Integral ausrechnen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Do 23.06.2005
Autor: Prinzessin83


> Das ist keine mehr von [mm]\varphi[/mm] abhängige Funktion.
>  Einfach die Konstante hier nach  [mm]\varphi[/mm] integrieren.
> Grenzen einsetzen und fertig.
>
> Gruß
>  MathePower

[mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{3} d\varphi} [/mm]

[mm] =[\bruch{1}{3}\varphi]_{0}^{2\pi} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*2\pi-\bruch{1}{3}*0 [/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*2\pi [/mm]

Richtig?


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Integral ausrechnen?: Richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Do 23.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin,

> > Das ist keine mehr von [mm]\varphi[/mm] abhängige Funktion.
>  >  Einfach die Konstante hier nach  [mm]\varphi[/mm] integrieren.
> > Grenzen einsetzen und fertig.
> >
> > Gruß
>  >  MathePower
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{3} d\varphi}[/mm]
>  
> [mm]=[\bruch{1}{3}\varphi]_{0}^{2\pi}[/mm]
>  [mm]=\bruch{1}{3}*2\pi-\bruch{1}{3}*0[/mm]
>  [mm]=\bruch{1}{3}*2\pi[/mm]
>  
> Richtig?
>  

[ok]

Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Integral ausrechnen?: Vielen Dank!!!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:16 Do 23.06.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo MathePower,


vielen vielen...lieben Dank dir für deine Hilfe!
Für allem wieder für deine Ausdauer, da ich oft so oberflächlich mit den Aufgaben/Tipps umgehe!

Danke dir!

Bezug
                        
Bezug
Integral ausrechnen?: Transformation
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Do 23.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin,

> Also durch deine Hilfe habe ich
>   [mm]\int\limits_0^1 {\int\limits_0^{2\pi } {r\;\sqrt {1\; - \;r^2 } } } \; dr\;d\varphi[/mm]
>  
> Mich verwirrt grad wo das r sin t und r cos t bleibt ?!

das ist folgendermaßen zu erklären:

Das Integral [mm]\iint {f\left( {x,y} \right)}\;dy\;dx[/mm] geht durch die Transformation

[mm] \begin{gathered} x\; = \;x\left( {r,\;t} \right) \hfill \\ y\; = \;y\left( {r,\;t} \right) \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

über in

[mm]\iint {f\left( {x\left( {r,\;t} \right),y\left( {r,\;t} \right)} \right)\;\det \;J}\;dr\;dt[/mm]

wobei

[mm]\det J\; = \;\left| {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\delta x}} {{\delta r}}} & {\frac{{\delta x}} {{\delta t}}} \\ {\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} & {\frac{{\delta y}} {{\delta t}}} \\ \end{array} } \right|[/mm]

Und die Determinante ist hier in diesem Fall ja gleich r.

Gruß
MathePower




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