Integral auf Riemannfläche < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:33 Di 02.03.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Es scheint ja offenbar so zu sein, dass man Riemannflächen u.a. aus dem Graph einer Funktion gewinnen kann (richtig?:
Nehmen wir an, wir hätten eine eindeutige Funktion f
f: [mm] z\mapsto [/mm] f(z); [mm] z\in D\subseteq\IC,
[/mm]
die jedoch nicht eindeutig umkehrbar ist, weil verschiedene Argumente z<>z'zu gleichen Bildern f(z)=f(z') führen, d.h. wenn wir w=f(z) nach z auflösen wollen, könnten wir es mit unterschiedlichen Zweigen [mm] z=f^{-}_1(w), z=f^{-}_2(w),... [/mm] zu tun bekommen.
Also definiert man die Umkehrrelation
[mm] f^-=\{(w,z)\in\IC|w=f(z)\} [/mm] als Riemannfläche (richtig?) und erhält mit
[mm] (w,z)\mapsto [/mm] z
wieder eine eindeutige und reguläre Abbildung (richtig?)
Die Frage ist jetzt: Wie formuliere ich Wege und Integrale über diese Wege in der Riemannfläche?
Nehmen wir doch die Wurzelfunktion: Wie schreibe ich jetzt geschlossen und "in schön" einen Weg, auf bei dem man sieht, wie er über die zwei Blätter läuft? Und da die Funktion ja jetzt regulär ist: Wie kommt dann wenn der Weg offen eine Differenz der Stammfunktion an den Enden des Weges raus?
Erwarte ich zuviel? Oder muss man sich dass immer (so wie das aufschneiden und zusammenflicken) zusammenstückeln?
LG
gfm
Habe die Frage nur hier gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Di 02.03.2010 | | Autor: | gfm |
> [mm]f^-=\{(w,z)\in\IC|w=f(z)\}[/mm] als Riemannfläche (richtig?)
Typo: [mm] f^-=\{(w,z)\in\IC^2|w=f(z)\}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Di 02.03.2010 | | Autor: | gfm |
weil im Ursprung eine Verzeigung vorliegt. Macht nichts. Dann kann man sich für eine Kurve aus zwei Kreisen um den Ursprung interessieren und die verbinden, so dass die Wurzel in der "normalen" komplexen Zahlenebene zwischen den Kreisen wieder regulär wird. Das Integral ist dann die Summe aus den Integralen über die Kreise, oder?
Wie würde man so was auf der Riemannfläche machen und aufschreiben?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 11.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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