Integral W-Maß < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:59 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei P ein W-Maß auf [mm] (\IR,\IB) [/mm] , [mm] B:=\{x\in \IR: P(\{x\})>0\}. [/mm]
Zeigen Sie: [mm] \integral P((-\infty,x])P(dx)=\bruch{1}{2}(1+\summe_{x\in B}(P(\{x\})^2)
[/mm]
Hinweis: B ist abzählbar. |
Hallo,
also an dieser Aufgabe beiß mir schon seit längerem die Zähne aus, habe über keinen vernünftigen Ansatz. Hab versucht die Summe umzuschreiben bzw die von P induzierte Verteilungsfunktion F einzubauen,haben Wkeiten in Integral umgeformt, aber kein Erfolg :(
Hat jemand vielleicht einen Hinweise für mich, wie ich die Aufgabe lösen kann?
Vielen Dank!
VG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:45 Fr 17.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian!
> Sei P ein W-Maß auf [mm](\IR,\IB)[/mm] , [mm]B:=\{x\in \IR: P(\{x\})>0\}.[/mm]
> Zeigen Sie: [mm]\integral P((-\infty,x])P(dx)=\bruch{1}{2}(1+\summe_{x\in B}(P(\{x\})^2)[/mm]
>
> Hinweis: B ist abzählbar.
Es gilt ja [mm] $P((-\infty, [/mm] x]) + P([x, [mm] \infty)) [/mm] = 1 + [mm] P(\{ x \})$. [/mm] Jetzt integriere beide Seiten; rechts erhaelst du $1 + [mm] \sum_{x \in B} P(\{x\})^2$.
[/mm]
Wenn du also zeigen kannst, dass [mm] $\int P((-\infty, [/mm] x]) P(dx) = [mm] \int [/mm] P([x, [mm] \infty)) [/mm] P(dx)$ ist, bist du fertig. Vielleicht geht das ja besser?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:07 Fr 17.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian,
> Wenn du also zeigen kannst, dass [mm]\int P((-\infty, x]) P(dx) = \int P([x, \infty)) P(dx)[/mm]
> ist, bist du fertig. Vielleicht geht das ja besser?
das bekommst du mit [mm] $P((-\infty, [/mm] x]) = [mm] \int_{(-\infty, x]} [/mm] 1 P(dt)$ und dem Satz von Fubini hin.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo ihr beiden,
super,vielen Dank !!! ihr wart mir echt eine große Hilfe :).
Hier noch ein paar Fragen:
Sind folgende Umformungen richtig?
[mm] \integral P(\{x\})P(dx)=\integral_{B}P(\{x\})P(dx)
[/mm]
[mm] =\integral P(\{x\})*1_{\bigcup_{y\in B}\{y\}}(x)P(dx)
[/mm]
[mm] =\integral \summe_{y\in B}1_{\{y\}}(x)P(\{x\})P(dx)
[/mm]
Da die Funktion [mm] 1_{\{y\}}(x)P(\{x\}) [/mm] messbar und [mm] \ge0 [/mm] ist, gilt:
= [mm] \summe_{y\in B}\integral 1_{\{y\}}(x)P(\{x\})P(dx)
[/mm]
[mm] =\summe_{y\in B}\integral 1_{\{y\}}(x)P(\{y\})P(dx)
[/mm]
[mm] =\summe_{y\in B}(P(\{y\}))^2
[/mm]
Warum ist B abzählbar?
Liegt das daran, dass die zu F zugehörige Verteilungsfunktion ja per Def. rechtsseitig stetig und damit nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen existieren und diese Unstetigkeitsstellen gerade die Elemente von B sind?
VG
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Fr 17.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
deine Umformung ist richtig.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Fry |
Danke,
jetzt wird hoffentlich morgen die Klausur einigermaßen werden :)
Grüße!
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Fr 17.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
obige Lösung finde ich sehr schön, trotzdem eine alternative:
[mm]\integral P((-\infty,x])P(dx)=\summe_{x \in B} P(\{x\})^2 + \bruch{1}{2} \summe_{x_i \in B \quad _{x_j \not= x_i}} \summe_{x_j \in B } P(\{x_i\})P(\{x_j\}) [/mm]
dann folgt:
$ [mm] 2(\summe_{x \in B} P(\{x\})^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{x_i \in B \quad _{x_j \not= x_i}} \summe_{x_j \in B } P(\{x_i\})P(\{x_j\}) [/mm] )= 1 + [mm] \summe_{x \in B} P(\{x\})^2$
[/mm]
substrahiere [mm] $\summe_{x \in B} P(\{x\})^2$ [/mm] von dieser Gleichung
$ [mm] \summe_{x \in B} P(\{x\})^2 [/mm] + [mm] \summe_{x_i \in B \quad _{x_j \not= x_i}} \summe_{x_j \in B } P(\{x_i\})P(\{x_j\}) [/mm] = 1$
die linke Seite ist nichts anderes als das Quadrat der Summe der [mm] $P(\{x\})$
[/mm]
$( [mm] \summe_{x \in B} P(\{x\}) )^2 [/mm] = 1$
letzte Gleichheit da P W-Maß
gruß
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