Integral Umformung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Sa 02.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Forme weiter um: [mm] $\left[ \frac{1}{3}x^3+x^2-2x \right]_0^1 [/mm] + [mm] \integral_0^1 \frac{x+1}{x^2+1}dx [/mm] = ...$ |
$... = [mm] \left[ \frac{1}{3}x^3+x^2-2x \right]_0^1 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \integral_0^1 [/mm] 2x [mm] \cdot \frac{1}{x^2+1}dx [/mm] + [mm] \integral_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx [/mm] = ...$
Woher kommt das letzte Integral? Kann mir das jemand beantworten? Die Umformungsschritte vorher verstehe ich soweit.
|
|
| |
|
Hallo,
im Prinzip ist die Antwort ganz einfach: weil es sich bei dem Integral
[mm] \integral{\bruch{1}{1+x^2}dx}=arctan(x)
[/mm]
um ein sog. Standardintegral handelt. Der vordere Summand, der entsteht ist wiederum leicht durch Substitution zu lösen.
In diesem Zusammenhang fällt mir mal wieder der uralte Spruch ein:
Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst.
Solche Standardintegrale bzw. Stammfunktionen sollte man unbedingt kennen. Manche sind gar nicht so einfach herzuleiten. Dieses kann man herleiten, indem man die Ableitung für die Arkustangensfunktion bildet, und zwar als Ableitung der Umkehrfunktion unter Verwendung von
[mm] (tan(x))'=1/cos^2(x)
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Sa 02.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Antwort. Das war nicht ganz das was ich wissen wollte. Dass $ [mm] \integral{\bruch{1}{1+x^2}dx}=arctan(x) [/mm] $ ist, weiß ich. Was meine Frage war, warum man $ [mm] \integral_0^1 \frac{x+1}{x^2+1}dx [/mm] $ so aufteilen kann, dass $ [mm] \frac{1}{2} \integral_0^1 [/mm] 2x [mm] \cdot \frac{1}{x^2+1}dx [/mm] + [mm] \integral_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx [/mm] $ rauskommt. Das verstehe ich nicht. Wobei ich wiederum davon das erste Integral verstehe wie man da drauf kommt. Ich verstehe nur nicht wie man auf das zweite Integral kommt; also von der Aufteilung her gesehen...
|
|
|
| |
|
> Danke für deine Antwort. Das war nicht ganz das was ich
> wissen wollte. Dass [mm]\integral{\bruch{1}{1+x^2}dx}=arctan(x)[/mm]
> ist, weiß ich. Was meine Frage war, warum man
> [mm]\integral_0^1 \frac{x+1}{x^2+1}dx[/mm] so aufteilen kann, dass
> [mm]\frac{1}{2} \integral_0^1 2x \cdot \frac{1}{x^2+1}dx + \integral_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx[/mm]
> rauskommt. Das verstehe ich nicht. Wobei ich wiederum davon
> das erste Integral verstehe wie man da drauf kommt. Ich
> verstehe nur nicht wie man auf das zweite Integral kommt;
> also von der Aufteilung her gesehen...
Hallo,
das ist in erster Linie Bruchrechnung:
[mm] \frac{x+1}{x^2+1}= \frac{x}{x^2+1}+ \frac{1}{x^2+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\frac{2x}{x^2+1}+ \frac{1}{x^2+1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 02.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke Angela...
In der Richtung hab ich auch schon gedacht. Aber irgendwie hab ich dann das doch nicht ganz geschafft!
Also nochmal Danke!
|
|
|
|
