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| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie möglichst mittels Integralrechnung den Flächeninhalt und die Rotationskörper von Kreis- und Ellipsenformel:
a) 1. Fläche von [mm] y=\pm\wurzel{r^2-x^2} [/mm] (=oberer und unterer Halbkreis mit Radius r)
2. Fläche von [mm] y=\pm\wurzel{b^2(1-\bruch{x^2}{a^2})} [/mm] (=obere und untere Ellipsenhälfte mit den Werten a und b)
b) 1. Rotationskörper von [mm] \wurzel{r^2-x^2} [/mm] und (=oberer Halbkreis rotiert um die 1.Achse)
b) 2. Rotationskörper von [mm] \pm\wurzel{r^2-x^2}+b [/mm] (oberer Halbkreis, um b nach oben verschoben, rotiert um die 1.Achse und wird zu einem Torus =sieht aus "wie ein Rettungsring")
b) 3. Rotationskörper von [mm] \wurzel{b^2(1-\bruch{x^2}{a^2})} [/mm] (obere Ellipsenhälfte rotiert um die 1.Achse und wird zum Ellipsoid)
b) 4. Rotationskörper von [mm] \pm\wurzel{b^2(1-\bruch{x^2}{a^2})}+c [/mm] (=obere Ellipsenhälfte, um c nach oben veschoben, rotiert um die 1.Achse und wird zu einem Ellipsoiden-Torus)
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Das mit den Rotationskörpern bekomme ich ohne Probleme hin, da bei Benutzung der Formel V [mm] _{Rotationskoerper}=\pi|\integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}| [/mm] die Wurzel wegfällt.
Bei der Flächenberechnung von Kreis und Ellipsenformel komme ich mit dem Integral aber nicht weiter:
Bei [mm] A_{Kreis}=2\integral_{-r}^{+r}{\wurzel{r^2-x^2} dx} [/mm] müsste ja [mm] \pi r^2 [/mm] rauskommen !
Habe irgendwo gelesen, dass man diese Flächenberechnung (vielleicht auch die der Ellipse) geometrisch lösen kann !
mit der Bitte um Tipps...
Schorsch
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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Hallo Georg,
> 1. Bestimmen Sie möglichst mittels Integralrechnung den
> Flächeninhalt und die Rotationskörper von Kreis- und
> Ellipsenformel:
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> a) 1. Fläche von [mm]y=\pm\wurzel{r^2-x^2}[/mm] (=oberer und unterer
> Halbkreis mit Radius r)
>
> 2. Fläche von [mm]y=\pm\wurzel{b^2(1-\bruch{x^2}{a^2})}[/mm] (=obere
> und untere Ellipsenhälfte mit den Werten a und b)
>
> Bei der Flächenberechnung von Kreis und Ellipsenformel
> komme ich mit dem Integral aber nicht weiter:
>
> Bei [mm]A_{Kreis}=2\integral_{-r}^{+r}{\wurzel{r^2-x^2} dx}[/mm]
> müsste ja [mm]\pi r^2[/mm] rauskommen !
Ja, das sollte so sein 
Etwas einfacher (wegen der leichter einzusetzenden Grenzen) kannst du auch
[mm] $4\cdot{}\int\limits_{0}^{r}{\sqrt{r^2-x^2} \ dx}$ [/mm] berechnen, also 4mal die Fläche eines Viertelkreises
Zur Berechnung des Integrals klammere unter der Wurzel [mm] r^2 [/mm] aus und ziehe es als r heraus, bedenke r>0, also [mm] \sqrt{r^2}=r
[/mm]
Also [mm] $=4\cdot{}\int\limits_{0}^{r}{\sqrt{r^2\cdot{}\left(1-\left(\frac{x}{r}\right)^2\right)} \ dx}=4r\cdot{}\int\limits_{0}^{r}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2} \ dx}$ [/mm]
Nun substituiere [mm] $\sin(u)=\frac{x}{r}$, [/mm] also [mm] $x=r\cdot{}\sin(u)$ [/mm]
Damit bekommst du ein Integral mit [mm] $\cos^2(u)$, [/mm] das du mit partieller Integration verarzten kannst (wahrscheinlich kannst du auch ein Additionstheorem hernehmen und das [mm] $\cos^2(u)$ [/mm] geschickt vereinfachen)
Damit klappt das recht schnell und problemlos, und es kommt der erwartete Flächeninhalt heraus, so wie es sein sollte
> Habe irgendwo gelesen, dass man diese Flächenberechnung
> (vielleicht auch die der Ellipse) geometrisch lösen kann !
>
> mit der Bitte um Tipps...
>
> Schorsch
>
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite
> gestellt.
LG
schachuzipus
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Die Handhabung der partiellen Integration bzw. eines Additionstheorems kenne ich noch nicht.
Muss mich wohl mal schlau machen...
Ist es mit der Ellipsenfläche ähnlich ?
Schorsch
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Hallo Schachschorsch56,
> Die Handhabung der partiellen Integration bzw. eines
> Additionstheorems kenne ich noch nicht.
>
> Muss mich wohl mal schlau machen...
>
> Ist es mit der Ellipsenfläche ähnlich ?
Ja, bei der Berechnung der Ellipsenfläche verwendest Du
eine ähnliche Substitution wie beim Halbkreis.
>
> Schorsch
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | | Ich möchte zu dieser Aufgabe noch eine Frage stellen, da ich mit der partiellen Integration wohl doch noch überfordert zu sein scheine...Also nochmal: Berechne das Integral [mm] 4\integral_{0}^{r}{\wurzel{r^2-x^2} dx} [/mm] |
Es soll auf der Internetseite:
http://www.oberprima.com/index.php/integral-wurzel-a-x/nachhilfe
für diese Aufgaben aus einer Formelsammlung folgende Formel geben:
[mm] \integral{\wurzel{r^2-x^2} dx}=\bruch{x}{2}\wurzel{r^2-x^2}+\bruch{r^2}{2}*sin^{-1}(\bruch{x}{r})
[/mm]
[mm] sin^{-1}(1)=arcsin(1) [/mm] soll [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] sein. Als Ergebnis bekomme ich aber für die Halbkreisfläche nach Einsetzen von r nicht [mm] \bruch{\pi}{2} r^2 [/mm] heraus !
Ist diese Formel zu richtig ?
Schorsch
Ich habe die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Diese Formel / Stammfunktion ist korrekt. Allerdings erhältst Du durch die Integration in den Grenzen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ r$ auch keinen Halbkreis sondern lediglich einen Viertelkreis.
Der Halbkreis entsteht durch Integraion von [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \red{-r}$ [/mm] bis [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +r$ .
Gruß
Loddar
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Danke Loddar,
d.h. die Formel für den ganzen Kreis muesste dann so lauten:
[mm] 4\integral{\wurzel{r^2-x^2} dx}=4(\bruch{x}{2}\wurzel{r^2-x^2}+\bruch{r^2}{2}\cdot{}sin^{-1}(\bruch{x}{r})) [/mm] = [mm] \pi r^2 [/mm] ?
Schorsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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