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| Aufgabe | Gib die Stammfunktion für fogende Funktion an
x-> [mm] \bruch{cosh(3x)}{sinh(x)+1} [/mm] |
Hallo,
ich kenn mich mit den Hyperbolicus Funktionen nicht so aus, hab aber im Internet dazu was gelesen und will jetzt wissen ob das was ich gemacht habe so richtig ist.
Also:
kann ich cosh(3x) aufteilen in cosh(2x)*cosh(x)?
dann hätte ich :
[mm] \bruch{cosh(2x)*cosh(x)}{sinh(x)+1}= \bruch{(cosh^2(x)+sinh^2(x))cosh(x)}{sinh(x)+1}
[/mm]
ist das bis hierher richtig?
wie mache ich denn danach weiter? ich kann aus dem Nenner keine richtige Umformung finden;
schon mal vielen Dnak im Vorraus
lg
Chrissi
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Hallo Christina,
> Gib die Stammfunktion für fogende Funktion an
> x-> [mm]\bruch{cosh(3x)}{sinh(x)+1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich kenn mich mit den Hyperbolicus Funktionen nicht so aus,
> hab aber im Internet dazu was gelesen und will jetzt wissen
> ob das was ich gemacht habe so richtig ist.
> Also:
> kann ich cosh(3x) aufteilen in cosh(2x)*cosh(x)?
Nach welcher Regel sollte das gelten?
> dann hätte ich :
> [mm]\bruch{cosh(2x)*cosh(x)}{sinh(x)+1}= \bruch{(cosh^2(x)+sinh^2(x))cosh(x)}{sinh(x)+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> ist das bis hierher richtig?
> wie mache ich denn danach weiter? ich kann aus dem Nenner
> keine richtige Umformung finden;
Das passt nicht, bemühe lieber die Definitionen von $\sinh(x),\cosh(x)$ über die e-Funktion, also
$\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x-e^{-x}}\right)$ und $\cosh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x+e^{-x}}\right)$
Wenn du das mal einsetzt, bekommst du $\int{\frac{e^{3x}+e^{-3x}}{e^x-e^{-x}+1} \ dx}$
Nun substituiere $u=u(x):=e^x$ und forme mal alles um.
Dann kannst du schlussendlich eine Polynomdivision machen, bei der ein Rest bleibt (also ein gebrochen rationaler Teil im Ergebnis der PD), den du mit einer Partialbruchzerlegung verarzten kannst ...
Der ganzrationale Teil des Ergebnisses der PD ist ja kein Problem ...
>
> schon mal vielen Dnak im Vorraus
>
> lg
> Chrissi
Gruß
schachuzipus
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Danke für die Antwort;
also wenn ich [mm] u=u(x)=e^x [/mm] setze hab ich ja
[mm] \bruch{u^3+u^{-3}}{u-u^{-1}+1} [/mm] wenn ich das dann umforme und ausrechne, komme ich auf folgendes:
[mm] \bruch{u^6+1}{u^4+u^3-u^2}
[/mm]
wie mache ich jetz daraus eine Polynomdivision?
lg
chrissi
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Hallo nochmal,
> Danke für die Antwort;
>
> also wenn ich [mm]u=u(x)=e^x[/mm] setze hab ich ja
> [mm]\bruch{u^3+u^{-3}}{u-u^{-1}+1}[/mm]
fast, du musst natürlich das $dx$ auch noch durch $du$ ausdrücken:
Mit [mm] $u=u(x)=e^x$ [/mm] ist [mm] $u'(x)=\frac{du}{dx}=e^x=u$
[/mm]
Also [mm] $dx=\frac{du}{u}$
[/mm]
Damit [mm] $\int{\frac{\cosh(3x)}{\sinh(x)+1} \ dx}=\int{\frac{u^3+u^{-3}}{u^2+u-1} \ du}$
[/mm]
> wenn ich das dann umforme
> und ausrechne, komme ich auf folgendes:
> [mm]\bruch{u^6+1}{u^4+u^3-u^2}[/mm]
> wie mache ich jetz daraus eine Polynomdivision?
Mit dem fehlenden Faktor u im Nenner musst du richtigerweise berechnen: [mm] $\left(u^6+1\right):\left(u^5+u^4-u^3\right)=...$
[/mm]
Eine normale (schriftliche) Polynomdivision halt - die kennst du doch, oder?
>
> lg
> chrissi
Gruß
schachuzipus
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Danke für die Antwort;
ich hab die PD gemacht und komm auf folgendes ergebnis:
[mm] u-1+\bruch{2u^4-u^3+1}{u^5+u^4-u^3}
[/mm]
ist des soweit richtig?
aber ich bekomm keine richtige Partialbruchzerlegung hin; ich weiß einfach nicht, wie ich des anordnen soll;
[mm] u^5+u^4+u^3 [/mm] = [mm] u^3*(u^2+u-1) [/mm] was mache ich jetzt damit?
lg
chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Chrissi!
> Danke für die Antwort;
> ich hab die PD gemacht und komm auf folgendes ergebnis:
> [mm]u-1+\bruch{2u^4-u^3+1}{u^5+u^4-u^3}[/mm]
> ist des soweit richtig?
Soweit ja. Nur hat sich schachuzipus vertan, der Bruch heisst richtig
[mm] \bruch{u^6+1}{u^5+\red{2}u^4-u^3} = u - 2 + \bruch{5u^4-2u^3+1}{u^5+\red{2}u^4-u^3} [/mm]
> aber ich bekomm keine richtige Partialbruchzerlegung hin;
> ich weiß einfach nicht, wie ich des anordnen soll;
> [mm]u^5+u^4+u^3[/mm] = [mm]u^3*(u^2+u-1)[/mm] was mache ich jetzt damit?
Du musst die allgemeinsten Nenner ansetzen, bei mehrfachen Faktoren alle möglichen Potenzen, also
[mm] \bruch{2u^4-u^3+1}{u^5+u^4-u^3} = \bruch{A}{u} + \bruch{B}{u^2} + \bruch{C}{u^3} + \bruch{Du+E}{u^2+2u-1} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:49 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo schachuzipus!
> [mm]\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x-e^{-x}}\right)[/mm] und
> [mm]\cosh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x+e^{-x}}\right)[/mm]
>
> Wenn du das mal einsetzt, bekommst du
> [mm]\int{\frac{e^{3x}+e^{-3x}}{e^x-e^{-x}+1} \ dx}[/mm]
Da hat sich eine kleiner Fehler eingeschlichen: das Integral ist
[mm] \bruch{1}{4} \int{\frac{e^{3x}+e^{-3x}}{e^x-e^{-x}+\red{2}} \ dx}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Chrissi!
> Gib die Stammfunktion für fogende Funktion an
> x-> [mm]\bruch{cosh(3x)}{sinh(x)+1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich kenn mich mit den Hyperbolicus Funktionen nicht so aus,
> hab aber im Internet dazu was gelesen und will jetzt wissen
> ob das was ich gemacht habe so richtig ist.
> Also:
> kann ich cosh(3x) aufteilen in cosh(2x)*cosh(x)?
Nein, für den [mm] $\cosh$ [/mm] gelten ähnliche Additionstheoreme wie für [mm] $\cos$:
[/mm]
[mm] \cosh(3x) = 3\cosh x \sinh^2x+\cosh^3 x[/mm]
und mit [mm] $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ [/mm] kannst du das umschreiben in
[mm] \cosh(3x) = 3\cosh x \sinh^2x + \cosh x(1+\sinh^2 x) = 4 \cosh x \sinh^2x +\cosh x [/mm]
Jetzt kannst du die Substitution [mm] $y=\sinh [/mm] x$ machen. $y' = [mm] \cosh [/mm] x$, daher $dy = [mm] \cosh [/mm] x dx$, das entstehende Integral ist einfach einfacher als das mit den e-Funktionen. Dafür funktioniert die Ersetzung durch e-Funktionen immer, während die Tricks mit den Additionstheoremen nur für manche Integrale gehen.
Viele Grüße
Rainer
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Danke für die Antwort;
jetzt möcht ich nur noch wissen, ob mein ergebnis stimmt;
also ich hab folgendes:
cosh(3x) = 4 [mm] cosh(x)sinh^2(x)+cosh(x)
[/mm]
mit y= sinh(x) => [mm] dx=\bruch{dy}{cosh(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{4cosh(x)*y^2+cosh(x)}{y+1}*\bruch{dy}{cosh(x)} [/mm] = [mm] \bruch{4y^2+1}{y+1}dy
[/mm]
daran schließt sich ja eine PBZ an:
also hab ich da:
[mm] 4y-4+\bruch{5}{y+1}
[/mm]
integriert ergäbe des dann:
[mm] 2y^2-4y+5ln(y+1), [/mm] also:
[mm] 2cosh^2(x)-4cosh(x)+5ln(cosh(x)+1)
[/mm]
ist das so richtig?
lg
chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Chrissi!
> Danke für die Antwort;
> jetzt möcht ich nur noch wissen, ob mein ergebnis
> stimmt;
> also ich hab folgendes:
> cosh(3x) = 4 [mm]cosh(x)sinh^2(x)+cosh(x)[/mm]
> mit y= sinh(x) => [mm]dx=\bruch{dy}{cosh(x)}[/mm]
> [mm]\bruch{4cosh(x)*y^2+cosh(x)}{y+1}*\bruch{dy}{cosh(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{4y^2+1}{y+1}dy[/mm]
> daran schließt sich ja eine PBZ an:
> also hab ich da:
> [mm]4y-4+\bruch{5}{y+1}[/mm]
> integriert ergäbe des dann:
> [mm]2y^2-4y+5ln(y+1),[/mm] also:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]2cosh^2(x)-4cosh(x)+5ln(cosh(x)+1)[/mm]
>
> ist das so richtig?
Nicht ganz, denn [mm] $y=\red{\sinh} [/mm] x$.
Viele Grüße
Rainer
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