Integral (Grenzen) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen sie das Integral [mm] \integral_{M}^{}{f} [/mm] für M [mm] \subset [/mm] [-1,1] x [0,2] begrenzt von den Parabeln y = [mm] 2x^{2} [/mm] und y = [mm] 1+x^{2}, [/mm] f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] gegeben durch f(x,y) = x + 2y |
Die Lösung habe ich hier vor mir liegen:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{2x^{2}}^{1+x^{2}}{x+2y dy} dx} [/mm] = [mm] \bruch{32}{15}
[/mm]
Ich weiß jedoch nicht wie die Intergalgrenzen zustande kommen. Das innere Integral ist offensichtlich durch die beiden gegeben Parabeln begrenzt. Ich denke, dass [mm] 2x^{2} [/mm] unten steht, weil der Graph unterhalb des anderen verläuft.
Die eigentliche Frage ist jedoch, woher die Grenzen für das äußere Integral kommen. Sind das die Schnittpunkte, bzw die x-Werte der Schnittpunkte der beiden Graphen? Oder übernimmt man da einfach die Grenzen auf der x-Achse, die in der Aufgabenstellung auftauchen? Oder muss ich da was ganz anderes machen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Mi 16.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Frage:
"Sind das die Schnittpunkte, bzw die x-Werte der Schnittpunkte der beiden Graphen?
Oder übernimmt man da einfach die Grenzen auf der x-Achse, die in der Aufgabenstellung auftauchen? "
Antwort: beides !
Mal Dir doch einfach ein Bild, dann siehst Du alles
FRED
|
|
|
| |
|
Ja aber ich möchte ja eine Herangehensweise, die ich auf alle Aufgaben dieser Form anwenden kann. Es hätte ja auch sein können, dass die Menge M durch [-2,2]x[0,2] und dann durch die Parabeln begrenzt vorgegeben wäre. Was müsste ich dann für die grenzen des äußeren Integrals nehmen? Die Schnittpunkte der Parabel sind immer noch dieselben. das wiederum impliziert natürlich, dass es tatsächlich um die Schnittpunkte geht. Habe ich Recht?
|
|
|
| |
|
> Ja aber ich möchte ja eine Herangehensweise, die ich auf
> alle Aufgaben dieser Form anwenden kann. Es hätte ja auch
> sein können, dass die Menge M durch [-2,2]x[0,2] und dann
> durch die Parabeln begrenzt vorgegeben wäre. Was müsste ich
> dann für die grenzen des äußeren Integrals nehmen? Die
> Schnittpunkte der Parabel sind immer noch dieselben. das
> wiederum impliziert natürlich, dass es tatsächlich um die
> Schnittpunkte geht. Habe ich Recht?
In der ersten Aufgabe war das Gebiet, dessen Flächeninhalt zu
berechnen war, ein sichelförmiges Gebiet. Auch mit der neuen
Menge M = [-2,2]x[0,2] ergibt sich dasselbe Gebiet, weil beide
Parabeln das Rechteck am oberen Rand in den gleichen beiden
Punkten verlassen.
Nimmst du aber nochmals eine neue Menge M, zum Beispiel
M=[-2,2]x[0,1.5] oder M=[-2,2]x[0,6], dann ergeben sich
unterschiedliche Situationen - und ich glaube nicht, dass es
für "alle Aufgaben dieser Form" eine einfache Formel gibt,
die man anwenden könnte, ohne die konkrete Situation auch
graphisch zu untersuchen.
LG
|
|
|
|
