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Hallo,
sei f : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] (f_n) [/mm] eine Folge in C[0,1], die
gleichmäßig gegen f konvergiert.
Jetzt möchte ich zeigen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
Mir das schon klar, dass das so ist. Aber ich habe Schwierigkeiten das formell
korrekt zu beweisen.
Wenn [mm] (f_n) [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, dann heißt das ja, dass
[mm] (||f_n [/mm] - [mm] f||_{[0,1]})_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge ist.
Und da [0,1] ein nichtleeres, kompaktes Intervall ist, gilt ja
C([0,1]) [mm] \subset [/mm] R([0,1])
Also ist [mm] (f_n) [/mm] eine Folge in R([0,1]), die gleichmäßig gegen f konvergiert.
Und wenn dem so ist gilt ja f [mm] \in [/mm] R([0,1]) und [mm] \integral_{[0,1]}{f d\lambda} [/mm] = [mm] \limes_{n\to\infty} \integral_{[0,1]}{f _nd\lambda}
[/mm]
Hm, bin ich damit überhaupt auf dem richtigen Weg? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 So 29.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> sei f : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] eine Funktion und [mm](f_n)[/mm] eine Folge in
> C[0,1], die
> gleichmäßig gegen f konvergiert.
>
> Jetzt möchte ich zeigen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> Mir das schon klar, dass das so ist. Aber ich habe
> Schwierigkeiten das formell
> korrekt zu beweisen.
> Wenn [mm](f_n)[/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, dann heißt das
> ja, dass
> [mm](||f_n[/mm] - [mm]f||_{[0,1]})_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge ist.
> Und da [0,1] ein nichtleeres, kompaktes Intervall ist,
> gilt ja
> C([0,1]) [mm]\subset[/mm] R([0,1])
> Also ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge in R([0,1]), die gleichmäßig
> gegen f konvergiert.
Ist $R([0,1])$ = auf [0,1] beschränkte Funktionen?
> Und wenn dem so ist gilt ja f [mm]\in[/mm] R([0,1]) und
> [mm]\integral_{[0,1]}{f d\lambda}[/mm] = [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_{[0,1]}{f _nd\lambda}[/mm]
Ich denke schon. Ich würde so vorgehen:
[mm] \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} = \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
und zeigen, dass das zweite Integral für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 0 geht.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen Dank für Deine Antwort!
> > Jetzt möchte ich zeigen, dass
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}[/mm]
> > = [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> >
> > Mir das schon klar, dass das so ist. Aber ich habe
> > Schwierigkeiten das formell
> > korrekt zu beweisen.
> > Wenn [mm](f_n)[/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, dann heißt
> das
> > ja, dass
> > [mm](||f_n[/mm] - [mm]f||_{[0,1]})_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge ist.
> > Und da [0,1] ein nichtleeres, kompaktes Intervall ist,
> > gilt ja
> > C([0,1]) [mm]\subset[/mm] R([0,1])
> > Also ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge in R([0,1]), die gleichmäßig
> > gegen f konvergiert.
>
> Ist [mm]R([0,1])[/mm] = auf [0,1] beschränkte Funktionen?
R(I) ist die Menge der über I Riemann-integrierbaren Funktionen
>
> > Und wenn dem so ist gilt ja f [mm]\in[/mm] R([0,1]) und
> > [mm]\integral_{[0,1]}{f d\lambda}[/mm] = [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_{[0,1]}{f _nd\lambda}[/mm]
>
> Ich denke schon. Ich würde so vorgehen:
>
> [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} = \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
>
> und zeigen, dass das zweite Integral für [mm]n\to\infty[/mm] gegen 0
> geht.
Ja, die Idee klingt gut.
Nun überlege ich gerade wie ich zeige, dass
[mm] \limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] = 0
Da [mm] \limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0 ist logischerweise
[mm] \limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] = 0
Aber das reicht ja sicher so nicht als Begründung?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 29.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> Nun überlege ich gerade wie ich zeige, dass
> [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> = 0
> Da [mm]\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n}[/mm] = 0 ist logischerweise
> [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> = 0
> Aber das reicht ja sicher so nicht als Begründung?
Nicht ganz. Aber bedenke, dass die [mm] $f_n$ [/mm] als stetige Funktionen auf [0,1] beschränkt sind und dass [mm] $|f_n(x)-f(x)|$ [/mm] für alle x gegen 0 geht.
Viel Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
> > Nun überlege ich gerade wie ich zeige, dass
> > [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> > = 0
> > Da [mm]\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n}[/mm] = 0 ist logischerweise
> > [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> > = 0
> > Aber das reicht ja sicher so nicht als Begründung?
>
> Nicht ganz. Aber bedenke, dass die [mm]f_n[/mm] als stetige
> Funktionen auf [0,1] beschränkt sind und dass [mm]|f_n(x)-f(x)|[/mm]
> für alle x gegen 0 geht.
Ja, das ist mir ansich bewußt. Aber irgendwie habe ich gerade ein Brett
vor dem Kopf ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") wie ich das = 0 zeigen kann.
Danke für weitere Hilfe.
Anna
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Hallo,
ich habe noch weiter überlegt.
Da die Funktionenfolge für n gegen unendlich gegen f gleichmäßig konvergiert,
ist [mm] |\integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f(x) dx} [/mm] | [mm] \le (1-(1-\bruch{1}{n})) ||f_n [/mm] - f [mm] ||_\infty \to [/mm] 0 für [mm] n\to \infty
[/mm]
Wäre das eine Begründung für
[mm] \limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] = 0?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
>
> ich habe noch weiter überlegt.
> Da die Funktionenfolge für n gegen unendlich gegen f
> gleichmäßig konvergiert,
> ist [mm]|\integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f(x) dx}[/mm] | [mm]\le (1-(1-\bruch{1}{n})) ||f_n[/mm]
> - f [mm]||_\infty \to[/mm] 0 für [mm]n\to \infty[/mm]
>
> Wäre das eine Begründung für
> [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> = 0?
Ich würd' sagen ja.
>
> Danke,
> Anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Merle23,
DANKE für Deine beiden Antworten!!
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo Rainer,
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> > > Nun überlege ich gerade wie ich zeige, dass
> > > [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> > > = 0
> > > Da [mm]\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n}[/mm] = 0 ist logischerweise
> > > [mm]\limes_{n\to\infty} \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> > > = 0
> > > Aber das reicht ja sicher so nicht als Begründung?
> >
> > Nicht ganz. Aber bedenke, dass die [mm]f_n[/mm] als stetige
> > Funktionen auf [0,1] beschränkt sind und dass [mm]|f_n(x)-f(x)|[/mm]
> > für alle x gegen 0 geht.
>
> Ja, das ist mir ansich bewußt. Aber irgendwie habe ich
> gerade ein Brett
> vor dem Kopf wie ich das = 0 zeigen kann.
Da [mm] f_n [/mm] gegen f glm. konvergiert, kannste ab einem bestimmten [mm] n_0 [/mm] sagen, dass für alle n größer [mm] n_0 [/mm] gilt: [mm] |f_n(x)|\le|f(x)|+\epsilon. [/mm] Und da f(x) beschränkt ist, kannste alle [mm] f_n [/mm] ab [mm] n_0 [/mm] mit [mm] max\{f\}+\epsilon [/mm] nach oben abschätzen und du hast [mm]\integral_{1-\frac{1}{n}}^1{f_n(x) dx}\le (max\{f\}+\epsilon)*\integral_{1-\frac{1}{n}}^1{dx}\to 0[/mm].
>
> Danke für weitere Hilfe.
> Anna
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Hallo,
ich habe noch eine Frage dazu:
> [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} = \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
Wie kommt man darauf genau, also warum darf man das so setzen?
Also ich meine sowas wie [mm] \integral_{a}^{c}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f_n(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f_n(x) dx} [/mm] ist klar, aber das?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Du hast die richtige Regel schon erkannt. Und Rainer hat nun einfach den Ausdruck [mm] $+\integral_b^c{f_n(x) \ dx}$ [/mm] durch Subtraktion auf die andere Seite der Gleichung gebracht.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
achso, also wird aus
[mm] \integral_{a}^{c}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f_n(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f_n(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{c}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f_n(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{c}^{b}{f_n(x) dx}
[/mm]
?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Aus
[mm] $$\integral_{a}^{c}{f_n(x) dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{a}^{b}{f_n(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f_n(x) dx}$$
[/mm]
wird
[mm] $$\integral_{a}^{b}{f_n(x) dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{a}^{c}{f_n(x) dx} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \integral_{b}^{c}{f_n(x) dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
hm, in diesem konkreten Fall verstehe ich das jetzt nicht,
es ist ja
[mm] \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} [/mm]
gefragt. Also praktisch ist a=0 und [mm] c=1-\bruch{1}{n}
[/mm]
Nun hat Rainer aber
[mm] \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx} [/mm]
Lt. Deiner Umformung müsste das ja eigentlich
[mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} [/mm]
sein
Danke,
Anna
>
>
> Aus
> [mm]\integral_{a}^{c}{f_n(x) dx} \ = \ \integral_{a}^{b}{f_n(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f_n(x) dx}[/mm]
>
> wird
> [mm]\integral_{a}^{b}{f_n(x) dx} \ = \ \integral_{a}^{c}{f_n(x) dx} \ \red{-} \ \integral_{b}^{c}{f_n(x) dx}[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Betrachte hier $a \ := \ 0$ , $b \ := \ [mm] 1-\bruch{1}{n}$ [/mm] sowie $c \ := \ 1$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Loddar,
achso, man ist gar nicht von diesem Integral ausgegangen.
Ok, dann kann ich das nachvollziehen. 
Danke,
Anna
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Hallo,
> > sei f : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] eine Funktion und [mm](f_n)[/mm] eine Folge in
> > C[0,1], die
> > gleichmäßig gegen f konvergiert.
> >
> > Jetzt möchte ich zeigen, dass
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}[/mm]
> > = [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
Also setze ich
[mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} = \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
Und wenn ich dann gezeigt habe, dass
[mm] \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] gegen 0 geht für n gegen unendlich,
dann habe ich gezeigt, dass
[mm] \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} [/mm]
Und daraus kann ich dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
folgern. Richtig?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
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> > > sei f : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] eine Funktion und [mm](f_n)[/mm] eine Folge in
> > > C[0,1], die
> > > gleichmäßig gegen f konvergiert.
> > >
> > > Jetzt möchte ich zeigen, dass
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}[/mm]
> > > = [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> Also setze ich
> [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} = \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
>
> Und wenn ich dann gezeigt habe, dass
> [mm]\integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm] gegen 0 geht
> für n gegen unendlich,
> dann habe ich gezeigt, dass
> [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> Und daraus kann ich dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> folgern. Richtig?
Nein! Wenn du auf der rechten Seite der Gleichung den Grenzübergang vollzogen hast, dann musst du es auf der linken Seite auch machen. Es sieht doch ein Blinder mit 'nem Krückstock, dass diese Gleichheit einfach falsch ist: [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}=\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}[/mm].
Du hast [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} = \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm] und jetzt kommt der Grenzübergang: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx})=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}-\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}-0=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> Danke,
> Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Merle23,
> > Also setze ich
> > [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} = \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> >
> > Und wenn ich dann gezeigt habe, dass
> > [mm]\integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm] gegen 0 geht
> > für n gegen unendlich,
> > dann habe ich gezeigt, dass
> > [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}[/mm] =
> > [mm]\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> > Und daraus kann ich dann
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}[/mm]
> > = [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> > folgern. Richtig?
>
> Nein! Wenn du auf der rechten Seite der Gleichung den
> Grenzübergang vollzogen hast, dann musst du es auf der
> linken Seite auch machen. Es sieht doch ein Blinder mit
> 'nem Krückstock, dass diese Gleichheit einfach falsch ist:
> [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}=\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}[/mm].
Ja eben. Tippfehler. Ich habe hier vergessen lim davor zu schreiben, ich meinte:
[mm] \limes_{n \to \infty} \integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\to \infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}
[/mm]
> Du hast [mm]\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx} = \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}[/mm]
> und jetzt kommt der Grenzübergang:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1-\bruch{1}{n}}{f_n(x) dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} - \integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx})=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}-\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{1-\bruch{1}{n}}^{1}{f_n(x) dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}-0=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
Ja, so meinte ich das.
Danke,
Anna
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