Integral, Bogenlänge < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 So 18.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Ich muss die Bogenlänge einer Parabel bestimmen und komm mit dem Integral nicht klar.
Bogenlänge der Parabel
[mm] a(t)=\vektor{t \\ t^2} [/mm] |
[mm] \dot a=\vektor{1 \\ 2t}
[/mm]
[mm] \left| \dot a \right|=\wurzel{1^2+4t^2}
[/mm]
[mm] s=\integral_{0}^{1}{\wurzel{1^2+4t^2} dt}
[/mm]
Ich komm nicht drauf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 18.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Substituier mal [mm] t=\bruch{1}{2}sinh(u) [/mm] und beachte, dass [mm] $cosh^2 u-sinh^2 [/mm] u=1$ ist.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 18.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
Und wie kommst du auf
[mm] t=\bruch{1}{2}sinh(u) [/mm]
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Hallo marc1001,
> Und wie kommst du auf
>
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> [mm]t=\bruch{1}{2}sinh(u)[/mm]
Durch die Wahl dieser Substitution wird man die Wurzel los.
Um ein Integral ausrechnen zu können, ist man bestrebt,
den Integranden so einfach wie möglich zu halten.
Das geht hier mit der angesprochenen Substitution.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 18.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
Danke!
Ich wäre nur nie auf diese Substitution gekommen, obwohl ich eine Formelsammlung mit Integraltafel vor mir liegen habe.
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Hallo marc1001,
> Danke!
>
> Ich wäre nur nie auf diese Substitution gekommen, obwohl
> ich eine Formelsammlung mit Integraltafel vor mir liegen
> habe.
Naja, wenn du einmal gesehen hast, dass man das Stammintegral [mm] $\int{\sqrt{1+x^2} \ dx}$ [/mm] mit der Substitution [mm] $x=\sinh(u)$ [/mm] erschlagen kann, ist die kleine Abweichung in der Substitution schnell gefunden ...
Von selbst kommt man natürlich nur sehr bedingt auf solche Tricks.
Allenfalls, wenn man sich den Zusammenhang [mm] $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$, [/mm] also [mm] $\cosh^2(z)=1+\sinh^2(z)$ [/mm] und vor allem [mm] $\sinh'(z)=\cosh(z), \, \cosh'(z)=\sinh(z)$ [/mm] mal in Erinnerung ruft.
Damit löst sich alles in Wohlgefallen auf...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 So 18.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
Hm,
[mm] x=\bruch{1}{2}*sinh(u)
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{du}= \bruch{1}{2}*cosh(u)
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2}cosh(u)*du
[/mm]
[mm] =\wurzel {1+4*\bruch{1}{2}sin^2h(u)}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+2*sin^2h(u)}
[/mm]
[mm] =\wurzel{cos^2h(u)+sin^2h(u)}
[/mm]
Stimmt das denn soweit ??
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Hallo marc1001,
> Hm,
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> [mm]x=\bruch{1}{2}*sinh(u)[/mm]
> [mm]\bruch{dx}{du}= \bruch{1}{2}*cosh(u)[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{1}{2}cosh(u)*du[/mm]
>
> [mm]=\wurzel {1+4*\bruch{1}{2}sin^2h(u)}[/mm]
Hier muss das doch so lauten:
[mm]=\wurzel {1+4*\left(\bruch{1}{2}\right)^{\red{2}}sin^2h(u)}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{1+2*sin^2h(u)}[/mm]
Und hier dann:
[mm]=\wurzel {1+sin^2h(u)}[/mm]
> [mm]=\wurzel{cos^2h(u)+sin^2h(u)}[/mm]
>
> Stimmt das denn soweit ??
Leider nein.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 So 18.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
Ach, da lag der Fehler :)
Vielen Dank!!!
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