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Hallo!
Ich habe ein Problem mit der Bestimmung der Grenzen eines Integrals. Es handelt sich um zwei Funktionen, die aus einer Funktionenschar stammen. Die allgemeine Funktion heißt:
[mm]f_t (x)= \bruch {1}{2}(x-2t)*e^\bruch{x}{t}[/mm]
Demnach heißt [mm]f_2(x)=\bruch{1}{2}(x-4)*e^\bruch{x}{2}[/mm]
und [mm]f_{-2}(x)=\bruch{1}{2}(x+4)*e^{-\bruch{x}{2}}[/mm] (es tut mir leid, ich weiß nicht genau, wie ich das korrekt als Formel eingeben kann, habe jetzt schon 5 Versuche gestartet, aber besser gehts nicht. Gemeint sind natürlich die beiden Funktionen für t=2 und t=-2).
Nun soll die Fläche, die von diesen beiden Funktionen eingeschlossen wird, berechnet werden. Dazu müssen ja zunächst einmal die Schnittpunkte der Kurven bestimmt werden (um die rechte und die linke Grenze des Integrals angeben zu können). Wenn ich nun die beiden Funktionen gleichsetze, um die Schnittpunkte zu berechen, komme ich nach einigem hin und her rechnen auf folgende Zeile:
[mm]\bruch{x+4}{x-4}=e^x[/mm]
Nun komme ich aber nicht mehr weiter. Normalerweise werden ja Exponentialfunktionen durch einen Logarithmus gelöst, aber wenn ich in dieser Zeile den ln anwende und dann auf der linken Seite das 2. und auf der rechten Seite das 3. Logarithmengesetz anwende, habe ich folgendes:
[mm]ln(x-4)-ln(x+4)=x[/mm]
Und jetzt? Ich weiß nicht, wie ich diese Zeile nach x auflösen soll, da ich die beiden Variablen in den Logarithmen nicht extrahieren kann. Wie kann ich denn nun weiter machen? oder habe ich weiter oben schon einen Denkfehler drin? Ich könnte es vor dem logarithmieren schon mit einem Näherungsverfahren probieren, aber dann bekomme ich ja keine "absolut korrekte" Lösung und erfahrungsgemäß kommt beim rechnen mit den "genauen" Ergebnissen ja später dann doch irgendwann eine glatte Zahl heraus.
Ich würde mich sehr über einen Denkanstoß freuen, ich verzweifle noch an dieser Aufgabe!
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi, NeosTrinity,
> [mm]f_t (x)= \bruch {1}{2}(x-2t)*e^\bruch{x}{t}[/mm]
> Demnach
> heißt [mm]f_2(x)=\bruch{1}{2}(x-4)*e^\bruch{x}{2}[/mm]
> und [mm]f_{-2}(x)=\bruch{1}{2}(x+4)*e^{-\bruch{x}{2}}[/mm]
> Nun soll die Fläche, die von diesen beiden Funktionen
> eingeschlossen wird, berechnet werden. Dazu müssen ja
> zunächst einmal die Schnittpunkte der Kurven bestimmt
> werden (um die rechte und die linke Grenze des Integrals
> angeben zu können).
Und dabei kommst Du letztlich auf eine Gleichung, die Du nur näherungsweise lösen kannst. Du hast aber sogar noch Glück, weil die Fläche ein symmetrisches Gebilde ist, sodass Du nur eine Schnittstelle ausrechnen musst.
Ich empfehle Dir, die Gleichung
g(x) = [mm] (x-4)*e^{x}-x-4 [/mm] zu benutzen und darauf das Newton-Verfahren anzuwenden. Startwert: x=4
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