Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Do 21.03.2013 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich habe ein Problem die folgende Integralberechnung nachzuvollziehen, und zwar soll gelten:
[mm] $\int_0^{\infty} 1_{\{|u^2e^{-2t}| \geq 1\}}(u) [/mm] \ dt= [mm] \left( \log{(u)} \right) 1_{\{u > 1\}}.$
[/mm]
Hierbei beschreibt [mm] $1_{\{\cdot\}}$ [/mm] die Indikatorfunktion.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Würde mich sehr freuen
Vielen Dank vorab.
Dester
|
|
| |
|
Die Gleichung wirkt auf mich ungewohnt wenn man nach t integriert müsste dann nicht eine Funktion von t herauskommen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 21.03.2013 | | Autor: | DesterX |
Das stimmt, das irritiert. Es ist aber auch ein bestimmtes Integral.
Zudem steckt ja auch hier das t in der Menge der Indikatorfunktion, die sich somit in t verändert.
Wenn man sich die Menge anschaut, gilt zumindest
[mm] $|u^2e^{-2t}| \geq [/mm] 1\ \ [mm] \Rightarrow [/mm] |t| [mm] \geq [/mm] log(u),$
was einen vermutlich schon näher zur Lösung führt. Allerdings fehlt mir der letzte Schritt. Hat vielleicht eine Idee?
Viele Grüße, Dester
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Das stimmt, das irritiert. Es ist aber auch ein bestimmtes
> Integral.
> Zudem steckt ja auch hier das t in der Menge der
> Indikatorfunktion, die sich somit in t verändert.
>
> Wenn man sich die Menge anschaut, gilt zumindest
> [mm]|u^2e^{-2t}| \geq 1\ \ \Rightarrow |t| \geq log(u),[/mm]
Ja. Überlege dir:
1) Das Integral ist Null, wenn $u< 1$ (denn dann wird die ganze Zeit über Null integriert).
2) D.h. du kannst $u [mm] \ge [/mm] 1$ annehmen. Dann gilt
[mm] $|u^2 e^{-2t}| \ge [/mm] 1 [mm] \gdw \log(u) \ge [/mm] t$.
Also hast du in diesem Fall:
[mm] $\int_{0}^{\infty} 1_{\{|u^2e^{-2t}| \ge 1\}} [/mm] d t = [mm] \int_{0}^{\infty} 1_{\{\log(u) \ge t\}} [/mm] d t = [mm] \int_{0}^{\log(u)} [/mm] d t = [mm] \log(u)$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Do 21.03.2013 | | Autor: | Reduktion |
Ist mit der Indikator [mm] \I1_{\{.\}}(u) [/mm] eine Funktion von u gemeint oder müsste da t stehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:25 Fr 22.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> Ist mit der Indikator [mm]\I1_{\{.\}}(u)[/mm] eine Funktion von u
> gemeint oder müsste da t stehen?
Der Indikator ist eine Funktion von u, und der Integrand ist eine Funktion von u und t, d. h. u hat hier die Rolle eines Parameters und nicht der Integrationsvariablen. Der Parameter u legt über die Indikatorfunktion die Integrationsgrenzen fest.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Fr 22.03.2013 | | Autor: | DesterX |
Genau so ist es.
Vielen Dank für eure Hilfe. 
|
|
|
|
