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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Fr 21.09.2012 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{cos(x) + sin(x)}{1 + sin(x)} dx} [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Ich lerne gerade für meine Klausur und habe folgendes Integral vor mir, bei dem ich im ersten Moment komplett ratlos bin... Könnte mir bitte jemand auf die Sprünge helfen mit welcher Regel ich das am besten lösen könnte?
Vielen Dank schon mal,
lg Markus
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Hallo mwieland,
> Lösen Sie folgendes Integral:
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cos(x) + sin(x)}{1 + sin(x)} dx}[/mm]
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> Hallo alle zusammen!
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> Ich lerne gerade für meine Klausur und habe folgendes
> Integral vor mir, bei dem ich im ersten Moment komplett
> ratlos bin... Könnte mir bitte jemand auf die Sprünge
> helfen mit welcher Regel ich das am besten lösen könnte?
Das ist aber eine sehr harte Nuss - sicher, dass du alles richtig abgeschrieben hast?
Ein schneller "Vorabcheck" auf wolfram alpha verheißt nichts Gutes ...
Der spuckt ein schreckliches Ergebnis aus:
Siehe hier:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+%28cos%28x%29%2Bsin%28x%29%29%2F%281%2Bsin%28x%29%29+dx
Da kannst du auch die Schritte anzeigen lassen - alles wenig erbaulich ...
>
> Vielen Dank schon mal,
>
> lg Markus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 21.09.2012 | | Autor: | mwieland |
vielen dank schon mal, jap, ist die richtige angabe ;)
ich hab mal folgendes versucht:
es gibt ja den einen trick wo man so substituiert:
u= [mm] tan(\bruch{x}{2}), [/mm] dann ist
cos(x) = [mm] \bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}, [/mm]
sin(x) = [mm] \bruch{2u}{1+u^{2}} [/mm] und
dx = [mm] \bruch{2}{1+u^{2}}*du
[/mm]
dann hab ich folgendes integral:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1-u^{2}+2u}{1+u^{2}}}{\bruch{1+u^{2}+2u}{1+u^{2}}} * \bruch{2}{1+u^{2}}du}
[/mm]
und wenn ich das dann vereinfache komme ich auf
-2 * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{u^{2}-2u-1}{u^{4}+2u^{3}+2u^{2}+2u+1}du}
[/mm]
und hier könnte man dann eine partialbruchzerlegung machen, oder?
btw: wie würde ich eine PBZ mit einem nennerterm 4ter ordnung angehen? hab das bis jetzt nur mit termen 2ter ordnung gemacht, was ja relativ simpel ist...
vielen dank und lg
markus
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Hallo nochmal,
> vielen dank schon mal, jap, ist die richtige angabe ;)
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> ich hab mal folgendes versucht:
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> es gibt ja den einen trick wo man so substituiert:
>
> u= [mm]tan(\bruch{x}{2}),[/mm] dann ist
>
> cos(x) = [mm]\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}},[/mm]
>
> sin(x) = [mm]\bruch{2u}{1+u^{2}}[/mm] und
>
> dx = [mm]\bruch{2}{1+u^{2}}*du[/mm]
Ja, so geht der elektr. Rechenknecht auch vor ...
>
> dann hab ich folgendes integral:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1-u^{2}+2u}{1+u^{2}}}{\bruch{1+u^{2}+2u}{1+u^{2}}} * \bruch{2}{1+u^{2}}du}[/mm]
>
> und wenn ich das dann vereinfache komme ich auf
>
> -2 * [mm]\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}-2u-1}{u^{4}+2u^{3}+2u^{2}+2u+1}du}[/mm]
Hier kommt der Knecht auf [mm]-2\int{\frac{u^2-2u-1}{u^4+2u^3+2u^2+2u+1} \ du}[/mm] und nach Faktorisierung des Nennes auf
[mm]-2\int{\frac{u^2-2u-1}{(u+1)^2(u^2+1)} \ du}[/mm]
Prüfe also deine Rechnung dahin gehend mal nach.
Dann ist der Ansatz für eine PBZ:
[mm]\frac{u^2-2u-1}{(u+1)^2(u^2+1)}=\frac{A}{u+1}+\frac{B}{(u+1)^2}+\frac{Cu+D}{u^2+1}[/mm], denn du hast eine doppelte reelle und eine komplexe Nullstelle im Nenner ...
>
> und hier könnte man dann eine partialbruchzerlegung
> machen, oder?
>
> btw: wie würde ich eine PBZ mit einem nennerterm 4ter
> ordnung angehen?
Das zerlegt man möglichst in Linearfaktoren, zumindest in quadrat.. Polynome und macht den üblichen Ansatz - siehe konkret oben ...
> hab das bis jetzt nur mit termen 2ter
> ordnung gemacht, was ja relativ simpel ist...
>
> vielen dank und lg
> markus
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Fr 21.09.2012 | | Autor: | mwieland |
ok ja, hab schon gesehen, dass ich schon einen schritt zu weit war eigentlich mit dem ausmiultiplizieren ;)
das ergebnis war bei mir übrigens das gleiche wie bei dir, mir hat er nur den -2 faktor irgendwie nicht mit reingenommen ;)
vielen dank für deine hilfe!
lg markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Fr 21.09.2012 | | Autor: | mwieland |
so hab nun die PBZ ausgeführt und komme nun auf folgendes, kann das stimmen?
[mm] +2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u+1} - \bruch{1}{(u+1)^{2}} -\bruch{u}{u^{2}+1} + \bruch{1}{u^{2}+1}dx}
[/mm]
dank und lg
mark
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Hallo mwieland,
> so hab nun die PBZ ausgeführt und komme nun auf folgendes,
> kann das stimmen?
>
> [mm]+2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u+1} - \bruch{1}{(u+1)^{2}} -\bruch{u}{u^{2}+1} + \bruch{1}{u^{2}+1}dx}[/mm]
>
Da hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen:
[mm]+2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u+1} - \bruch{1}{(u+1)^{2}} -\bruch{u}{u^{2}+1} + \bruch{1}{u^{2}+1}d\blue{u}}[/mm]
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dank und lg
> mark
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Valerie20 |
> Da hat sich ein Scheibfehler eingeschlichen:
Noch einer:
"Da hat sich ein Sch[mm]\big{\blue{r}}[/mm]eibfehler eingeschlichen:" 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Fr 21.09.2012 | | Autor: | reverend |
Der war gut.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Fr 21.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Lösen Sie folgendes Integral:
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cos(x) + sin(x)}{1 + sin(x)} dx}[/mm]
>
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich lerne gerade für meine Klausur und habe folgendes
> Integral vor mir, bei dem ich im ersten Moment komplett
> ratlos bin... Könnte mir bitte jemand auf die Sprünge
> helfen mit welcher Regel ich das am besten lösen könnte?
>
> Vielen Dank schon mal,
>
> lg Markus
Hallo,
eine Zerlegung von [mm]\bruch{cos(x) + sin(x)}{1 + sin(x)} [/mm] in [mm]\bruch{cos(x) }{1 + sin(x)}+\bruch{ sin(x)}{1 + sin(x)}=\bruch{cos(x) }{1 + sin(x)}+1-\bruch{ 1}{1 + sin(x)}[/mm]
liefert vorn einen Bruch, bei dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist --> leicht zu integrieren.
Es ist jetzt die Frage, ob auch der hintere Bruch mit vertretbarem Aufwand intgrierbar ist.
Gruß Abakus
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