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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 28.06.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Lösen Sie:
[mm] \int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}dx [/mm] |
Hallo,
welchen Weg würdet ihr bei diesem Integral am besten einschlagen?
Ich hab folgendes versucht:
[mm] \int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}dx=\int\sqrt{\left(\frac{a}{x}\right)^2-1}dx [/mm] und dann u:=a/x substituiert.
Aber das Integral wird dadurch nicht leichter:
[mm] ...=-a\int \frac{\sqrt{u-1}}{u^2}du
[/mm]
Gruß,
pyw
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Hallo pyw,
> Lösen Sie:
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> [mm]\int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}dx[/mm]
> Hallo,
>
> welchen Weg würdet ihr bei diesem Integral am besten
> einschlagen?
Nun, nach überschlägiger Rechnung scheint die Substitution [mm]u=u(x)=\sqrt{a^2-x^2}[/mm] zu klappen.
Mit anschließende Partialbruchzerlegung:
Ich komme dabei auf das Integral [mm]\int{\frac{u^2}{u^2-a^2} \ du}[/mm]
[mm]=\int{\left(1+\frac{a^2}{u^2-a^2}\right) \ du}[/mm]
Hier nun PBZ ...
Hab's aber nicht zuende gerechnet ..
>
> Ich hab folgendes versucht:
>
> [mm]\int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}dx=\int\sqrt{\left(\frac{a}{x}\right)^2-1}dx[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Auf einen schnellen Blick könntet du [mm]\frac{a}{x}=\cosh(u)[/mm] probieren, also [mm]x=\frac{a}{\cosh(u)}[/mm]
Damit [mm]dx \ = \ -\frac{a\cdot{}\sinh(u)}{\cosh^2(u)} \ du[/mm]
Da solltest du auf ein Integral mit [mm]\tanh^2(u)[/mm] kommen ...
> und dann u:=a/x substituiert.
> Aber das Integral wird dadurch nicht leichter:
>
> [mm]...=-a\int \frac{\sqrt{u-1}}{u^2}du[/mm]
>
> Gruß,
> pyw
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Di 28.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo schachuzipus,
danke, ich habe den ersten Weg gerechnet und der geht.
mfg,
pyw
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