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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Do 10.06.2010 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Integral:
[mm] $\int\frac{dx}{x^3+1}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
dank des Wolfram Integrators kenne ich die Lösung:
[mm] $-\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\frac{1}{3}\ln(x+1)+\frac{\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}$
[/mm]
Nur, wie komme ich darauf?
Bringt mir die Substitution von [mm] $z=x^3+1$ [/mm] etwas? Ich würde vermuten, dass mich das nicht weiterbringt, da ich dann [mm] $dz/dx=3x^2+1$ [/mm] hätte und sich das $x$ nicht rauskürzt.
Wäre für einen Denkanstoß sehr dankbar.
Viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
zerleg den Nenner: [mm] x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
[/mm]
Dann partiell weiter.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Do 10.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
gfm hat Recht (s.u.).
Mein Weg geht nicht auf, also dann nur über Partialbruchzerlegung wie dort gezeigt.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Do 10.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Bestimmen Sie das Integral:
> [mm]\int\frac{dx}{x^3+1}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> dank des Wolfram Integrators kenne ich die Lösung:
>
> [mm]-\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\frac{1}{3}\ln(x+1)+\frac{\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}[/mm]
>
> Nur, wie komme ich darauf?
>
> Bringt mir die Substitution von [mm]z=x^3+1[/mm] etwas? Ich würde
> vermuten, dass mich das nicht weiterbringt, da ich dann
> [mm]dz/dx=3x^2+1[/mm] hätte und sich das [mm]x[/mm] nicht rauskürzt.
>
> Wäre für einen Denkanstoß sehr dankbar.
>
> Viele Grüße
> Gregor
[mm] \frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{x+1}-\frac{x-2}{x^2-x+1}\Big)=\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{3}{2}\frac{1}{x^2-x+1}\Big)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(\ln(x+1))-\frac{1}{6}\frac{d}{dx}\ln(x^2-x+1)+\frac{1}{2}\frac{1}{(x-1/2)^2+3/4}
[/mm]
[mm] \frac{1}{2}\frac{1}{(x-1/2)^2+3/4}=\frac{2}{3}\frac{1}{((2x-1)/\wurzel{3})^2+1}=\frac{1}{\wurzel{3}}\frac{d}{dx}\arctan((2x-1)/\wurzel{3})
[/mm]
LG
gfm
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