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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Mo 24.05.2010 | | Autor: | dalex |
Hallo,
ich soll eine Integralformel vereinfachen, habe das Ergebnis gegeben, aber ich komme nicht drauf was gemacht wurde:
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{(t-sin(t))^(^n^-^2^)*(1-cos(t))^2 dt} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{n-1}*\integral_{0}^{2*\pi}{(t-sin(t))^(^n^-^1^)*sin(t)dt}
[/mm]
Ich habs schon mit partielle Integration versucht, aber da komm ich nicht weiter. Ich weiß nicht was die Aufleitung von [mm] \((t-sin(t))^{^n^-^2^} [/mm] ist.
Kann mir jemand helfen?
Danke!
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich soll eine Integralformel vereinfachen, habe das
> Ergebnis gegeben, aber ich komme nicht drauf was gemacht
> wurde:
>
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{(t-sin(t))^(^n^-^2^)*(1-cos(t))^2 dt}[/mm]
> =
> [mm]-\bruch{1}{n-1}*\integral_{0}^{2*\pi}{(t-sin(t))^(^n^-^1^)*sin(t)dt}[/mm]
>
> Ich habs schon mit partielle Integration versucht, aber da
> komm ich nicht weiter. Ich weiß nicht was die Aufleitung
> von [mm]\((t-sin(t))^{^n^-^2^}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist.
> Kann mir jemand helfen?
ja. Aber erstmal zur Sprache: Es gibt nicht die Aufleitung, sondern eine Aufleitung (eigentlich sogar sehr viele, sie unterscheiden sich nur höchstens um jeweils eine Konstante). Und das Wort "Aufleitung" ist oft nicht sehr gerne gesehen. Benutze lieber das Wort Stammfunktion.
Nun zu Deiner Aufgabe:
Substituiere $x=x(t):=t-\sin(t)\,,$ dann ist
$$\frac{d}{dt}x=\frac{d}{dt} (t-\sin(t))=\frac{d}{dt}t-\frac{d}{dt}\sin(t)=1-\cos(t)\,,$$ also
$$dx=(1-\cos(t))dt$$
und somit
$$\int (1-\sin(t))^{n-2}(1-\cos(t))dt=\int x^{n-2}dx=\frac{1}{n-1}x^{n-1}=\frac{1}{n-1}(t-\sin(t))^{n-1}\,,$$
also:
$t \mapsto \blue{u(t):=\frac{1}{n-1}(t-\sin(t))^{n-1}}$ ist eine Stammfunktion von $t \mapsto (1-\sin(t))^{n-2}(1-\cos(t))\,.$
Und mit diesem Wissen gehst Du nun an Deine Aufgabe heran, und zwar, wie schon richtigerweise erkannt, mit partieller Integration $\int_{a}^b u'v=\left.u*v\right|\limits_{a}^b -\int_a^b uv'$:
$$\int_0^{2\pi} (t-\sin(t))^{n-2}*(1-cos(t))^2 dt}=\int_0^{2\pi}\underbrace{(t-sin(t))^{n-2}*(1-cos(t))}_{=\blue{u'(t)}}\;*\underbrace{(1-\cos(t))}_{=:v(t)} dt}=\ldots$$
Ich schätze mal, dass Du jetzt weiterkommst.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mo 24.05.2010 | | Autor: | dalex |
Danke für die schnelle Antwort!
nun habe ich den Fall n=4, d.h. ich soll das Integral ausrechnen:
[mm] \(1+\bruch{2}{3}*\bruch{1}{(2\pi)^{3}}\integral_{0}^{2\pi}{(t - sin(t))^{3} * sin(t) dt})
[/mm]
Hab schon versucht mit Substitution und partielle Integration an die Lösung zu kommen, aber nach dem ich 2 Seiten voll gerechnet habe, dachte ich ich frag mal hier nach ob jemand einen "Trick" sieht wie das schneller zu lösen ist.
Bei meinem Vorgehen habe ich erst alles ausmultipliziert und dann jedes einzelne versucht zu integrieren. Hatte dann 6 Integrale zu berechnen :)
Als Lösung soll auf jedenfall [mm] \(\bruch{35}{48\pi^{2}} [/mm] rauskommen
Hoffe jemand sieht einen "einfacheren" Weg zum Ziel.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] sin^3(x) [/mm] sollte man durch überlegen seiner Symmetrie (die Gleiche wie sinx) ohne die Stammfkt zu kennen in dem Intervall leicht integrieren können! (sonst zeichne es mal auf!)
x*sinx durch part. Integration.
Gruss leduart
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