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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Mo 09.11.2009
Autor: Steffi333

Hallo zusammen!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir beschäftigen uns im Studium gerade mit der Standard-Normalverteilung und ich muss folgendes Integral lösen:
[mm] \integral_{s}^{\infty}x{\phi(x) dx}, [/mm]
wobei [mm] \phi(x) [/mm] die Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung ist. Mit partieller Integration komme ich da irgendwie nicht weiter. Bemerkt habe ich auch noch, dass wenn [mm] s=-\infty [/mm] wäre das Integral der Erwartungswert der Standard-Normalverteilung, also 0. Aber wie mir das weiterhelfen soll, weiß ich nicht.

Hoffe jemand kann mir helfen!

Grüße, Steffi

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:13 Mo 09.11.2009
Autor: pelzig

Was genau ist jetzt [mm] $\phi(x)$? [/mm] Etwa [mm] $\phi(x)=1/\sqrt{2\pi}\cdot\exp(-x^2/2)$? [/mm] Das ist doch banal: Eine Stammfunktion von [mm] $xe^{-x^2}$ [/mm] ist [mm] $0.5e^{-x^2}$, [/mm] jetzt bastel das ein bischen zurecht...

Gruß, Robert

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:41 Mo 09.11.2009
Autor: Steffi333

Oh mann, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht!
Demnach bekomme ich
[mm] \integral_{s}^{\infty}{x\phi(x) dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[-\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}]_s^{\infty}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}[-1+e^{-\frac{s^2}{2}}]=-\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}+\frac{1}{2}\phi(s). [/mm]
Oder kann man das noch weiter umformen?

Auf jeden Fall vielen Dank! Vielleicht sollte ich mir nächstes mal etwas mehr Zeit zum nachdenken geben.

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Mo 09.11.2009
Autor: pelzig


>  Demnach bekomme ich
>  [mm]\integral_{s}^{\infty}{x\phi(x) dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[-\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}]_s^{\infty}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}[-1+e^{-\frac{s^2}{2}}][/mm]

Wie kommst du da auf die -1? [mm] $\lim_{s\to\infty}e^{-s^2/2}=0$ [/mm]

Gruß, Robert

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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:13 Mo 09.11.2009
Autor: Steffi333

Besser ich wäre heute nicht aufgestanden. Also habe ich als Ergebnis

[mm] \frac{1}{2}\phi(s)? [/mm]

Gruß Steffi

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Mo 09.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Besser ich wäre heute nicht aufgestanden. Also habe ich
> als Ergebnis
>  
> [mm]\frac{1}{2}\phi(s)?[/mm]

Das richtige Ergebnis wäre [mm] \phi(s). [/mm] Das hängt aber damit zusammen, dass schon beim vorherigen Post

[mm] $\integral_{s}^{\infty}{x*\phi(x) dx} [/mm] = [mm] [-\phi(x)]_{s}^{\infty}$ [/mm]

sein müsste, da Robert dir das Integral für [mm] x*e^{-x^{2}} [/mm] gesagt hat nicht für [mm] x*e^{-x^{2}/2}. [/mm]

Grüße,
Stefan

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