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Forum "Integralrechnung" - Integral
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Integral: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Fr 25.03.2005
Autor: Fabian

Hallo

Ich hab hier ein kleines Problem. Und zwar will ich folgendes Integral berechnen:


[mm] \integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx} [/mm]

Eigentlich hab ich ja kein Problem derartige Integrale zu berechnen. Nun hab ich folgendes gefunden:

Für eine differenzierbare Funktion f mit [mm] f(x)\not=0 [/mm] gilt nach der Quotientenregel [mm] (\bruch{1}{f(x)})'=\bruch{-f(x)}{(f(x))^{2}} [/mm] ( Wäre nett , wenn mir jemand erklären könnte , wie man darauf kommt )

Mit [mm] f(x)=1-x^{2} [/mm] erhalten wir  [mm] \integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx}=\integral{\bruch{-f(x)}{(f(x))^{2}} dx}=-\bruch{1}{f(x)}=-\bruch{1}{1-x^{2}} [/mm]

Soweit so gut, aber ich hab das Integral mal ganz normal mit der Substitution [mm] u=1-x^{2} [/mm] berechnet:

[mm] u=1-x^{2} [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}=-2x [/mm]

[mm] dx=\bruch{du}{-2x} [/mm]

Dann erhalte ich:

[mm] (-1)\integral{\bruch{1}{(u)^{2}} du} [/mm]

und das ist:

[mm] (-1)*\bruch{-1}{1-x^{2}}+C=\bruch{1}{1-x^{2}}+C [/mm]

Der einzige Unterschied besteht ja im Vorzeichen. Hab ich hier einen Denkfehler?

Vielen Dank für eure Antworten!

Gruß Fabian

        
Bezug
Integral: Teilantwort zum Satz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Fr 25.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Fabian!


> Für eine differenzierbare Funktion f mit [mm]f(x)\not=0[/mm] gilt
> nach der Quotientenregel
> [mm](\bruch{1}{f(x)})'=\bruch{-f(x)}{(f(x))^{2}}[/mm]

Gehen wir einen anderen Weg (nicht MBQuotientenregel) ...

[mm] $\bruch{1}{f(x)} [/mm] \ = \ [mm] \left[f(x)\right]^{-1}$ [/mm]


Damit wird mit der MBPotenzregel und der MBKettenregel:

[mm] $\left[\bruch{1}{f(x)}\right]' [/mm] \ = \ [mm] \left(\left[f(x)\right]^{-1}\right)' [/mm] \ = \ (-1) * [mm] \left[f(x)\right]^{-2} [/mm] \ * [mm] \underbrace{ \ f'(x) \ }_{innere \ Abl.} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{f'(x)}{f^2(x)}$ [/mm]


Klar(er) nun?

Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Integral: weitere Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Fr 25.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, persilous,
Ave, Loddar,

> [mm]\integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx} [/mm]
>  
> Eigentlich hab ich ja kein Problem derartige Integrale zu
> berechnen. Nun hab ich folgendes gefunden:
>  
> Für eine differenzierbare Funktion f mit [mm]f(x)\not=0[/mm] gilt
> nach der Quotientenregel
> [mm](\bruch{1}{f(x)})'=\bruch{-f(x)}{(f(x))^{2}}[/mm] ( Wäre nett ,
> wenn mir jemand erklären könnte , wie man darauf kommt )

Ich denke, da liegt ein Tippfehler vor, weil: Im Zähler muss es "-f'(x)" heißen!

Also: h(x) = [mm] \bruch{1}{f(x)}; [/mm] Quotientenregel: h'(x) = [mm] \bruch{0*f(x) - 1*f'(x)}{(f(x))^{2}} =\bruch{-f'(x)}{(f(x))^{2}}. [/mm]
Das war's schon!  

>  
> Mit [mm]f(x)=1-x^{2}[/mm] erhalten wir  
> [mm]\integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx}=\integral{\bruch{-f(x)}{(f(x))^{2}} dx}=-\bruch{1}{f(x)}=-\bruch{1}{1-x^{2}} [/mm]

Vorzeichenfehler! Das Minuszeichen steht nur bei h'(x)
(siehe meine Herleitung oben),
aber NICHT bei h(x), daher:

[mm] \integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{f(x)} [/mm] + c = [mm] \bruch{1}{1-x^{2}} [/mm] + c

(Jeweils für x > 1 bzw. -1 < x < 1 bzw. x < -1;
bitte nicht für x [mm] \in [/mm] R \ { [mm] \pm1 [/mm] }; aber das nur nebenbei!)  

> Soweit so gut, aber ich hab das Integral mal ganz normal
> mit der Substitution [mm]u=1-x^{2}[/mm] berechnet:
>  
> [mm]u=1-x^{2} [/mm]
>  
> [mm]\bruch{du}{dx}=-2x [/mm]
>  
> [mm]dx=\bruch{du}{-2x} [/mm]
>  
> Dann erhalte ich:
>  
> [mm](-1)\integral{\bruch{1}{(u)^{2}} du} [/mm]
>  
> und das ist:
>  
> [mm](-1)*\bruch{-1}{1-x^{2}}+C=\bruch{1}{1-x^{2}}+C [/mm]

Was ja auch stimmt: siehe oben!
  


Bezug
                
Bezug
Integral: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Fr 25.03.2005
Autor: Fabian

Hallo Loddar und Zwerglein,

Vielen Dank für eure Antworten!

Gruß Fabian

Bezug
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