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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:30 Fr 17.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
ich habe eine Frage.
Wenn ich y-Werte einer Funktion in einem bestimmen Intervall zusammenrechne, ist es genau das gleiche als wenn ich einfach das Integral in diesem Intervall bereche?
Ich tendiere eher zu nein)))
Vieen Dank
LG
sardelka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe eine Frage.
>
>
> Wenn ich y-Werte einer Funktion in einem bestimmen
> Intervall zusammenrechne, ist es genau das gleiche als
> wenn ich einfach das Integral in diesem Intervall bereche?
>
> Ich tendiere eher zu nein)))
wie definierst Du denn "Werte einer Funktion in einem bestimmten Intervall zusammenrechnen"?
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:43 Fr 17.04.2009 | | Autor: | sardelka |
z.B. f(x)=x²
dann reche ich im intervall [1;3].
Dann reche ich die y-werte von 1 bis 3 zusammen.
und die frage ist, ob es genau das gleiche ist, wenn ich gleich integral von 1 bis 3 berechnen würde oder ob es doch ein Unterschied macht?
vielen Dank
LG
sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Halo Sardelka,
> z.B. f(x)=x²
>
> dann reche ich im intervall [1;3].
>
> Dann reche ich die y-werte von 1 bis 3 zusammen.
es tut mir Leid, aber nur durch ein Beispiel ist immer noch nicht klar, was Du meinst.
Ich nehme an, du willst das Intervall unterteilen in Stellen [mm] $x_i$ [/mm] mit [mm] $x_0=1 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] < ... < [mm] x_n=3$ [/mm] und dann
[mm] $$\sum_{k=1}^n f(x_k)$$
[/mm]
berechnen. Aber diese solch eine Unterteilung ist nicht eindeutig, zudem abhängig von [mm] $n\,$ [/mm] und Du wirst da i.a. auch keinen Grenzwert bilden können.
Wenn Du aber mit "Funktionswerte zusammenrechnen" sowas meinst, wie einen gewissen Flächeninhalt berechnen, dann schau' z.B. in die ![[]](/images/popup.gif) Definition des Riemann-Integrals und dort in die Definition der Ober- bzw. Untersumme. Da siehst Du, dass nach dem [mm] $\sum$-Zeichen [/mm] nicht nur Funktionswerte (bzw. das Supremum bzw. Infimum über gewisse Funktionswerte) stehen, sondern dass da auch ein weiterer Faktor [mm] ($x_k-x_{k-1}$) [/mm] steht.
Und der Zusammenhang zwischen den Riemannsummen und dem Riemann integral (hier) sollte Dir bekannt sein.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Fr 17.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Versuch Nr. 3 :)
f(x) = x²
Ich untersuche [1;3]
f(1)=1
f(2)=4
f(3)=9
y-Werte zusammenaddieren: 1+4+9= 14
Ist DAS, also f(1) + f(2) + f(3)
GENAU DAS GLEICHE, wenn ich [mm] \integral_{1}^{3}{x²) dx}
[/mm]
rechnen würde?!
Also ist [mm] \integral_{1}^{3}{x²) dx} [/mm] = f(1) + f(2) + f(3)
Und zwar immer und bei allen Funktionen? Berechnet man damit genau das gleiche?
Oder sind es zwei verschiedene Dinge?
Danke schön
LG
sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 17.04.2009 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
> Versuch Nr. 3 :)
>
> f(x) = x²
>
> Ich untersuche [1;3]
>
> f(1)=1
> f(2)=4
> f(3)=9
>
> y-Werte zusammenaddieren: 1+4+9= 14
>
> Ist DAS, also f(1) + f(2) + f(3)
> GENAU DAS GLEICHE, wenn ich [mm]\integral_{1}^{3}{x²) dx}[/mm]
>
> rechnen würde?!
>
> Also ist [mm]\integral_{1}^{3}{x²) dx}[/mm] = f(1) + f(2) + f(3)
NEIN! Auf keinen Fall!
Schau dir mal die Definition des Riemann Integrals an. Das hat was mit Obersummen und Untersummen zu tun. Es geht hier um Flächeninhalte zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse und nicht um Funktionswerte. Das Integral ist zwar Grenzwertmäßig auch eine Summe, aber in einem ganz anderen Sinn.
Hast du schonmal was von einer Stammfunktion gehört oder von der Riemannschen Summe?
Wenn nicht, dann arbeite dich mal in dieses Thema ein.
Das Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a). [/mm] Dies ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Wobei F(x) die Stammfunktion von f(x) ist. Wie man diese berechnet ist wieder eine andere Sache.
>
> Und zwar immer und bei allen Funktionen? Berechnet man
> damit genau das gleiche?
>
> Oder sind es zwei verschiedene Dinge?
Das sind absolut verschiedene Dinge!
>
> Danke schön
Bitte schön!
>
> LG
>
> sardelka
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Fr 17.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Natürlich habe ich schon mal Stammfunktion gerechnet ;)
Ich mach mein Abi in paar Tagen in Mathe ;)
Aber danke, nur es verwirrt mich oft, wenn in Textaufgaben steht, dass wir da was vergleichen müssen und ich weiß nie, ob ich nun die y-Werte oder das Integral nehmen muss.
Aber dieses Summe von R... kenne ich nicht, brauche ich auch nicht, glaube ich :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Natürlich habe ich schon mal Stammfunktion gerechnet ;)
>
> Ich mach mein Abi in paar Tagen in Mathe ;)
>
> Aber danke, nur es verwirrt mich oft, wenn in Textaufgaben
> steht, dass wir da was vergleichen müssen und ich weiß nie,
> ob ich nun die y-Werte oder das Integral nehmen muss.
vielleicht hättest Du dann besser mal ein paar solcher Aufgaben gepostet, wo Du erklärst, was Dich da warum verwirrt. Bzw. das kannst Du ja immer noch tun 
> Aber dieses Summe von R... kenne ich nicht, brauche ich
> auch nicht, glaube ich :)
Irgendwie solltet ihr mal Integrale eingeführt haben, typischerweise macht man das über Riemann-Summen, vll. nicht theoretisch ganz so ausführlich wie an der Uni oder bei Wiki. Aber die Idee, was ein Integral überhaupt ist bzw. wie ihr es geometrisch interpretieren könnt, sollte schon im Unterricht mal erläutert worden sein.
Übrigens:
Dass $\int_1^3 x^2 dx$ nicht mit $1+4+9=14$ übereinstimmt, hättest Du auch selbst nachrechnen können:
$$\int_1^3 x^2 dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{x=1}^{x=3}=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3} \not=14\,.$$
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Lange Staus auf den Autobahnen, insbesondere in der Hauptreisezeit, haben wiederholt die
Frage nach einer optimalen Fahrgeschwindigkeit aufgeworfen. Bei einer vereinfachten Untersuchung
dieser Frage nimmt man an, dass gleich lange Autos mit einer konstanten Geschwindigkeit
in einer Kolonne fahren. Die Anzahl der Fahrzeuge, die pro Stunde eine Zählstelle
passieren, heißt Verkehrsdichte.
Die Funktion f mit f(x) = [mm] \bruch{1000x}{3+0,01x²}
[/mm]
und D = R beschreibt für x [mm] \ge [/mm] 0 den Zusammenhang
zwischen der Fahrgeschwindigkeit x (in km/h ) und der Verkehrsdichte bei Kleinwagen.
b). Für die Taylorfunktion [mm] t_{3} [/mm] dritten Grades an der Stelle x = 0 zu der Funktion f, D = R, gilt: [mm] t_{3}(x) [/mm] = [mm] -\bruch{9}{10}x³ [/mm] + [mm] \bruch{1000}{3}x.
[/mm]
Beschreiben Sie, wie sich aus der Funktionsgleichung für [mm] t_{3} [/mm] die Werte f'(0), f''(0) und f'''(0)
ermitteln lassen, und bestimmen Sie auf diese Weise f'(0), f''(0) und f'''(0) .
Beurteilen sie folgende Aussage zur Verkehrsdichte: Für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 9 weicht die mit Taylorfunktion [mm] t_{3} [/mm] errechnete Verkehrsdichte um höchstens 8% von der durch die Funktion f gegebenen Verkehrsdichte ab. |
Ich hatte schon einmal selbst nachgerechnet, allerdings war bei mir der Unterschied nur bei knapp 1,0 glaube ich(das war aber andere Aufgabe), deshalb hatte ich mich gefragt, ob es vielleicht doch das Gleiche sein kann.
Aber bei x² stimmt, da sieht man es ja wohl deutlich. :)
Eine Aufgabe wäre z.B. wie diese oben aufgeschrieben. Das ist eine Aufgabe aus Abi2008.
Und ich wusste nun nicht, ob ich y-Werte zusammenzählen soll oder Integral machen soll.
Denn eigentlich sagt man ja, man berechnet das Integral, wenn man die Menge einer Güte berechnen möchte.
Dichte ist ja auch so etwas wie Güte, aber die Funktion f(x) und [mm] t_{3} [/mm] beschreiben ja Verkehrsdichte, wie es in der Einleitung gesagt wird.
Deshalb wusste ich nicht, ob ich jetzt die y-Werte zusammenzähle oder das Integral bilden muss, denn für beides gab es Argumente für.
Vielen Dank
Liebe Grüße
sardelka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Mi 22.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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