Integral < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | Berechnen Sie: [mm] \integral_{ }^{ }{\wurzel{a²+x²}^{(-3)}}dx
[/mm]
|
Guten Tag,
ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand zeigen könnte wie man das Integral mit elementaren Mitteln (d.h. Substitution und partielle Integration) per Hand berechnen kann. Per Computer sieht es ganz simpel aus.
Das Integral ist also (a²+x²) hoch minus drei halbe. Konnte das nicht richtig schön eintippen.
Vielen Dank!
Mit freundlichen Grüßen,
Christoph
|
|
| |
|
Hallo Blacky,
> Berechnen Sie: [mm]\integral_{ }^{ }{\wurzel{a²+x²}^{(-3)}}dx[/mm]
>
>
> Guten Tag,
>
> ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand zeigen könnte wie man
> das Integral mit elementaren Mitteln (d.h. Substitution und
> partielle Integration) per Hand berechnen kann. Per
> Computer sieht es ganz simpel aus.
>
> Das Integral ist also (a²+x²) hoch minus drei halbe. Konnte
> das nicht richtig schön eintippen.
So etwa:
[mm]\integral_{ }^{ }{\left(a^{2}+x^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}} \ dx[/mm]
Versuche es mit dieser Substitution:
[mm]x=a*\sinh\left(t\right) \Rightarrow dx = a*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm]
>
> Vielen Dank!
>
> Mit freundlichen Grüßen,
>
> Christoph
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 So 23.11.2008 | | Autor: | Blacky |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo mathepower, vielen Dank für deine Antwort. Mein Rechenweg:
$ \integral_{ }^{ }{\left(a^{2}+x^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}} \ dx $
$ x=a\cdot{}\sinh\left(t\right) \Rightarrow dx = a\cdot{}\cosh\left(t\right) \ dt $
Einsetzen:
$ \integral_{ }^{ }{\left(a^{2}+a^{2}*sinh(t)^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}}*a*cosh(t) \ dt $
$ \integral_{ }^{ }{\left(a^{2}*(1+sinh(t)^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}}*a*cosh(t) \ dt $
\bruch{1}{a^2} \cdot$ \integral_{ }^{ }{\left(1+sinh(t)^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}}cosh(t) \ dt $
\bruch{1}{a^2} \cdot$ \integral_{ }^{ }{\left(cosh(t)^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}}cosh(t) \ dt $
\bruch{1}{a^2} \cdot$ \integral_{ }^{ }{\left\bruch{1}{cosh(t)^{2}}\ dt $
Dieses Integral habe ich nun mal mit dem Computer berechnet (weil ich es wieder nicht auf die schnelle per Hand hinbekomme :-[)
\integral_{ }^{ }{\bruch{1}{cosh(t)^{2}}}\ dt = \bruch{-2}{e^{2*t}+1}
und dort dann t=arsinh(x/a) eingesetzt. Dann kam ich aber immernoch nicht auf das richtige Ergebnis. Habe ich mich denn hier, bis zum cosh Integral, schon verrechnet?
gruß,
christoph
|
|
|
| |
|
Hallo Blacky,
> Hallo mathepower, vielen Dank für deine Antwort. Mein
> Rechenweg:
>
> [mm]\integral_{ }^{ }{\left(a^{2}+x^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}} \ dx[/mm]
>
> [mm]x=a\cdot{}\sinh\left(t\right) \Rightarrow dx = a\cdot{}\cosh\left(t\right) \ dt[/mm]
>
> Einsetzen:
>
> [mm]\integral_{ }^{ }{\left(a^{2}+a^{2}*sinh(t)^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}}*a*cosh(t) \ dt[/mm]
>
> [mm]\integral_{ }^{ }{\left(a^{2}*(1+sinh(t)^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}}*a*cosh(t) \ dt[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{a^2} \cdot[/mm] [mm]\integral_{ }^{ }{\left(1+sinh(t)^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}}cosh(t) \ dt[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{a^2} \cdot[/mm] [mm]\integral_{ }^{ }{\left(cosh(t)^{2}}\right)^{-\bruch{3}{2}}cosh(t) \ dt[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{a^2} \cdot[/mm] [mm]\integral_{ }^{ }{\left\bruch{1}{cosh(t)^{2}}\ dt[/mm]
>
> Dieses Integral habe ich nun mal mit dem Computer berechnet
> (weil ich es wieder nicht auf die schnelle per Hand
> hinbekomme :-[)
>
> [mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{1}{cosh(t)^{2}}}\[/mm] dt =
> [mm]\bruch{-2}{e^{2*t}+1}[/mm]
>
Das bekommst du auch per Hand gebacken:
Setze für [mm]\cosh\left(t\right)[/mm] die Formel [mm]\bruch{e^{t}+e{-t}}{2}[/mm] ein.
>
>
> und dort dann t=arsinh(x/a) eingesetzt. Dann kam ich aber
> immernoch nicht auf das richtige Ergebnis. Habe ich mich
> denn hier, bis zum cosh Integral, schon verrechnet?
Nein.
Wenn Du jetzt die Substitution rückgängig machst, dann schreibe
[mm]e^{t}=\sinh\left(t\right)+\cosh\left(t\right)[/mm]
Das gibt dann ein bischen Rechnerei bis Du zum richtigen Ergebnis kommst.
>
> gruß,
>
> christoph
>
>
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
|
