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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
habe die Aufgabe gerade gerechnet und bekomme 0 raus. Kann das sein??
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{r^{3}cos(\beta) d\r} d\alpha}d\beta}
[/mm]
Der Integrand wird beim Transformieren in Kugelkoordinaten zu r. Die Funktionaldeterminante *r ergibt dann den obigen Integranden. Ich integriere zunächst nach r und bekomme:
[mm] \bruch{7}{32}\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{cos(\beta) d\r} d\alpha}d\beta}
[/mm]
Jetzt integriere ich von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] über den Cosinus und das wird natürlich 0. Was habe ich falsch gemacht? Oder kommt da tatsächlich 0 heraus?
ciao, Simon.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mikemodanoxxx,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> habe die Aufgabe gerade gerechnet und bekomme 0 raus. Kann
> das sein??
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{r^{3}cos(\beta) d\r} d\alpha}d\beta}[/mm]
Der Integrand stimmt, nur die Grenzen müssen anders gewählt werden,
da hier nur der erste Oktant betrachtet wird.
>
> Der Integrand wird beim Transformieren in Kugelkoordinaten
> zu r. Die Funktionaldeterminante *r ergibt dann den obigen
> Integranden. Ich integriere zunächst nach r und bekomme:
>
>
> [mm]\bruch{7}{32}\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{cos(\beta) d\r} d\alpha}d\beta}[/mm]
>
> Jetzt integriere ich von 0 bis [mm]2\pi[/mm] über den Cosinus und
> das wird natürlich 0. Was habe ich falsch gemacht? Oder
> kommt da tatsächlich 0 heraus?
Siehe oben.
>
> ciao, Simon.
Gruß
MathePower
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Wie genau müssen die denn aussehen?
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Hallo mikemodanoxxx,
> Wie genau müssen die denn aussehen?
Die Grenzen für r hast Du ja schon bestimmt.
Die anderen Grenzen erhältst Du aus den Transformationsgleichungen:
[mm]x=r*\cos\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right)[/mm]
[mm]y=r*\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right)[/mm]
[mm]z=r*\sin\left(\beta\right)[/mm]
Beachte hierbei, daß das auch eindeutig umkehrbar ist.
Gruß
MathePower
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Irgendwie stehe ich grad auf dem Schlauch, ich verstehe gar nicht was ich da jetzt einsetzen muss.
Allerdings habe ich beim Winkel [mm] \beta [/mm] nen Fehler gefunden. Den hätte ich von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2 [/mm] integriert..
Wieso denn erster Oktant? Ich hätte gesagt, dass das eine Hohlkugel mit den Radien 1/2 und 1 ist?!
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Hallo mikemodanoxxx,
> Irgendwie stehe ich grad auf dem Schlauch, ich verstehe gar
> nicht was ich da jetzt einsetzen muss.
>
> Allerdings habe ich beim Winkel [mm]\beta[/mm] nen Fehler gefunden.
> Den hätte ich von [mm]-\pi/2[/mm] bis [mm]+\pi/2[/mm] integriert..
Aus [mm]z=r*\sin\left(\beta\right) \ge 0[/mm] folgt
[mm]\beta \in \left[0,\pi\right][/mm]
Da der Sinus aber nur in [mm]\left[0, \bruch{\pi}{2}\right][/mm] eindeutig umkehrbar ist, folgt
[mm]\beta \in \left[0,\bruch{\pi}{2}\right][/mm]
Für den Winkel [mm]\alpha[/mm] gilt analoges.
Hier ist es aber eindeutiger.
>
> Wieso denn erster Oktant? Ich hätte gesagt, dass das eine
> Hohlkugel mit den Radien 1/2 und 1 ist?!
Erster Oktant, weil [mm]x \ge 0, \ y \ge 0, \ z \ge 0[/mm].
Gruß
MathePower
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ach mist ich hab die forderung übersehen. Danke -.-
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