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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | Für 0<k<3 ist die Funktion [mm] f_k(x) [/mm] gegeben durch [mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] -x^{2}+kx.
[/mm]
Wie ist k zu wählen, damit die Fläche zwischen dem Graphen von [mm] f_{k}und [/mm] der x-Achse zwischen x=0 und x=3 minimal wird?
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Hallo!
Ich habe diese Aufgaben zum Üben fürs Abi gefunden und beiße mir gerade ein bisschen die Zähne daran aus.
Bisher sind meine Überlegungen soweit fortgeschritten:
- Ich weiß, ich muss im Intervall von 0 bis 3 integrieren
- Ich brauche die Nullstellen, um zu gucken, wie der Graph
verläuft
- Und später muss ich irgendwie ableiten, und die erste
Ableitung nullsetzen, um auf Extrema zu kommen.
Ich habe folgendes nun also gemacht:
[mm] f_k(x) [/mm] = [mm] -x^2+kx
[/mm]
[mm] F_k(x) [/mm] = [mm] \bruch{-1}{3}x^3+\bruch{1}{2}kx^2
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{3}{f(x) dx} [/mm] =
[mm] \vmat{ \bruch{-1}{3}x^3+\bruch{1}{2}kx^2 }
[/mm]
[mm] \vmat{ \bruch{-1}{3}3^3+\bruch{1}{2}k*3^2 }
[/mm]
[mm] \vmat{ \bruch{-9}{2}k } [/mm] = [mm] \bruch{9}{2}k
[/mm]
NST
[mm] N_1 [/mm] (0/0), [mm] N_2 [/mm] (k/0)
Und jetzt dachte ich, dass k ja auch zwischen 0 und 3 liegen kann und habe folgendes gemacht:
[mm] \vmat{\integral_{0}^{3}{f(x) dx}} [/mm] +
[mm] \vmat{\integral_{0}^{3}{f(x) dx}}
[/mm]
[mm] \vmat{ \bruch{-1}{3}k^3+\bruch{1}{2}k^3 }-0+\vmat{ \bruch{-1}{3}k^3+\bruch{1}{2}k^3-\vmat{ \bruch{-1}{3}3^3+\bruch{1}{2}k*3^2 } }
[/mm]
[mm] \vmat{ \bruch{1}{6}k^3}+\vamt{\bruch{-1}{6}k^3-9+\bruch{9}{2}k }
[/mm]
So, jetzt weiß ich nicht weiter...
Wie soll ich das ableiten und...lässt sich da noch was zusammenfassen vielleicht?!
Danke schonmal für alle Helfer!!!
AMY
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:17 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
also [mm] f_k(x) [/mm] = [mm] -x^2+kx [/mm] schneidet die x achse bei 0 , aber bei 3 schneidet sie sie nur für k=3 und´die Funktion muss die x achse ja bei 0 und 3
schneiden , damit die minimal zu bestimmende Fläche entsteht
also muss k = 3 sein
bist du sicher das es nicht heißt 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 3 ?
dann hast du : f(x) = [mm] -x^2+3x
[/mm]
also nur für 1 k , nämlich k = 3 existiert diese FLäche überhaupt
Bist Du sicher dass die Aufgabenstellung richtig ist ?
lg
Thomas
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 10:45 Do 15.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> also [mm]f_k(x)[/mm] = [mm]-x^2+kx[/mm] schneidet die x achse bei 0 ,
> aber bei 3 schneidet sie sie nur für k=3 und´die Funktion
> muss die x achse ja bei 0 und 3
> schneiden , damit die minimal zu bestimmende Fläche
> entsteht
Das stimmt nicht, denn die Fläche soll ja links und rechts von den (senkrechten) Geraden x=0 und x=3, von der x-Achse und dem Graphen begrenzt werden.
Du gehst --denke ich-- davon aus, dass allein der Graph und die x-Achse die Fläche begrenzen sollen.
Viele Grüße,
Marc
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> Für 0<k<3 ist die Funktion [mm]f_k(x)[/mm] gegeben durch [mm]f_{k}(x)[/mm] =
> [mm]-x^{2}+kx.[/mm]
> Wie ist k zu wählen, damit die Fläche zwischen dem Graphen
> von [mm]f_{k}und[/mm] der x-Achse zwischen x=0 und x=3 minimal
> wird?
>
> Hallo!
>
> Ich habe diese Aufgaben zum Üben fürs Abi gefunden und
> beiße mir gerade ein bisschen die Zähne daran aus.
> Bisher sind meine Überlegungen soweit fortgeschritten:
> - Ich weiß, ich muss im Intervall von 0 bis 3 integrieren
> - Ich brauche die Nullstellen, um zu gucken, wie der Graph
> verläuft
> - Und später muss ich irgendwie ableiten, und die erste
> Ableitung nullsetzen, um auf Extrema zu kommen.
Hallo,
das klingt schonmal überaus vernünftig.
>
> Ich habe folgendes nun also gemacht:
>
> [mm]f_k(x)[/mm] = [mm]-x^2+kx[/mm]
> [mm]F_k(x)[/mm] = [mm]\bruch{-1}{3}x^3+\bruch{1}{2}kx^2[/mm]
Ja.
> Und jetzt dachte ich, dass k ja auch zwischen 0 und 3
> liegen kann
So ist die Situation lt. Voraussetzung! Da steht doch: "Für 0<k<3 ..."
> und habe folgendes gemacht:
>
>
> [mm]\vmat{\integral_{0}^{k}{f(x) dx}}[/mm] + [mm]\vmat{\integral_{k}^{3}{f(x) dx}}[/mm]
> =[mm]\vmat{ \bruch{-1}{3}k^3+\bruch{1}{2}k^3 }-0+\vmat{ \bruch{-1}{3}k^3+\bruch{1}{2}k^3-\vmat{ \bruch{-1}{3}3^3+\bruch{1}{2}k*3^2 } }[/mm]
Hier sitzen die Betragstriche verkehrt.
Es muß ja jeweils das komplette Integral in Betragstriche:
[mm] \vmat{\integral_{0}^{k}{f(x) dx}} +\vmat{\integral_{k}^{3}{f(x) dx}}
[/mm]
= [mm] \vmat{ \bruch{-1}{3}k^3+\bruch{1}{2}k*k^2 - 0} [/mm] + [mm] \vmat{ \bruch{-1}{3}3^3+\bruch{1}{2}k*3^2 - \bruch{-1}{3}k^3-\bruch{1}{2}k*k^2}
[/mm]
[mm] =\vmat{ \bruch{1}{6}k^3} [/mm] + [mm] \vmat{-9+\bruch{9}{2}k - \bruch{1}{6}k^3}
[/mm]
[mm] =\vmat{ \bruch{1}{6}k^3} +\vmat{- \bruch{1}{6}}*\vmat{k^3-27k +54}
[/mm]
Nun überlege Dir, daß Du bei [mm] \vmat{ \bruch{1}{6}k^3} [/mm] die Betragstriche fortlassen kannst.
Und was ist [mm] \vmat{- \bruch{1}{6}}?
[/mm]
Etwas mehr überlegen muß man bei [mm] \vmat{k^3-27k +54}. [/mm] Man stellt fest, daß [mm] k^3-27k [/mm] +54 immer [mm] \ge [/mm] 0 ist, also können auch hier die Betragstriche fortbleiben.
Du hast nun den gesuchten Flächeninhalt in Abhängigkeit von k.
Jetzt führst Du mit dieser Funktion in gewohnter manier eine Extremwertberechnung durch.
Gruß v. Angela
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