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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{dx}{x^{4}-16}} [/mm] |
Ich bin absolut überfordert mit dieser Aufgabe. Aus der Formelsammlung weiss ich wie die Lösung aussehen muss. Ich komme aber noch nicht einmal in diese Richtung.
Ich habe x²=z substituiert. Aber dann komme ich schon nicht mehr weiter.
[mm] \integral{\bruch{dz}{(z²-16)\wurzel{z}}}
[/mm]
Kann mir bitte jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Fr 29.02.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
> [mm]\integral{\bruch{dx}{x^{4}-16}}[/mm]
Zerlege den Nenner in Linearfaktoren.
$= [mm] \int{\frac{dx}{(x-4)\cdot(x+4)}} [/mm] $
Und jetzt hilft dir die Partialbruchzerlegung weiter.
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 29.02.2008 | | Autor: | crashby |
ahh ja hast Recht.....ich hab mit [mm] x^2 [/mm] gerechnet moment ich guck nochmal :)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Fr 29.02.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo lotusbluete,
kombiniere einfach Susann's Linearfaktorzerlegung mit George's Vorschlag, eine Partialbruchzerlegung durchzuführen:
[mm] $\frac{1}{x^4 - 16} [/mm] = [mm] \frac{1}{(x-2)(x+2)(x^2+4)} [/mm] = [mm] \frac{A}{x-2} [/mm] + [mm] \frac{B}{x+2} [/mm] + [mm] \frac{Cx + D}{x^2+4}$
[/mm]
Die rechte Seite auf den linken Nenner bringen und dann im Zähler die Koeffizienten vergleichen. Daraus ergibt sich ein LGS, dessen Lösungen dir die Werte für A, B, C, D liefern. (Es gibt da auch noch einen einfacheren Weg, aber diesen solltest du zuerst können  )
Die ersten beiden Summanden sind dann leicht integrierbar, für den dritten verwende nach einer geeigneten Substitution den arctan.
LG
Will
PS: Zur Kontrolle: Die 4 Variablen haben bis auf das Vorzeichen die Werte 0, 1/8 und 1/32
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Fr 29.02.2008 | | Autor: | grrmpf |
Hallo,
also mein Lösungsvoschlag wäre, den Ausdruck [mm] x^{4}+16 [/mm] zuerst in [mm] (x^{2}+4)(x^{2}-4) [/mm] und dann in [mm] (x-2)(x+2)(x^{2}+4) [/mm] zu zerlegen. (eventuell ist die zweite Zerlegung auch schon unnütz). Und dann das ganze mit partieller Integration zu zerkleinern. Ob das wirklich zum Ziel führt, weiß ich nicht so recht, aber ich denke, es ist wert, probiert zu werden.
Gruß, Susann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Fr 29.02.2008 | | Autor: | crashby |
Hallo, ja so dürfte es gehen.
Man hat dann
$ [mm] \int {\frac{1}{(x-2)\cdot(x+2)\cdot(x^2+4)}} [/mm] $
Dennoch kann man jetzt hier Partialbruchzerlegung verwenden aber ein langes rechnen bleibt es doch.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wie bereits angedeutet kannst Du so anfangen:
[mm] $x^4-16=(x+2)*(x-2)*(x^2+4)$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\frac{1}{x^4-16}=\frac{1}{(x+2)(x-2)(x^2+4)}$
[/mm]
Wenn man sich das nun anguckt, so bekommt man vielleicht die Idee:
[mm] $\frac{1}{x^4-16}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x^2+4}$
[/mm]
Das führt zu:
[mm] $1=A(x-2)(x^2+4)+B(x+2)(x^2+4)+C(x^2-4)$
[/mm]
[mm] $\gdw 1=Ax^3+4Ax-2Ax^2-8A+Bx^3+4Bx+2Bx^2+8B+Cx^2-4C$
[/mm]
[mm] $\gdw 0=x^3(A+B)+x^2(2B-2A+C)+x(4A+4B)+(8B-1-8A-4C)$
[/mm]
Daraus erhält man drei Gleichungen:
$A+B=0$, $2B-2A+C=0$ und
$-8A+8B-4C-1=0$, und damit:
$B=-A$, $C=4A$ und daher $-8A-8A-16A-1=0 [mm] \gdw A=-\frac{1}{32}$, [/mm] und damit:
[mm] $A=-\frac{1}{32}$, $B=\frac{1}{32}$ [/mm] und [mm] $C=-\frac{1}{8}$.
[/mm]
Damit:
[mm] $\int{\frac{1}{x^4-16}dx}=-\frac{1}{32}\int{\frac{1}{x+2}dx}+\frac{1}{32}\int{\frac{1}{x-2}dx}+\frac{1}{8}\int{\frac{1}{x^2+4}dx}$ [/mm]
Das letzte Integral rechterhand kann man evtl. analog durch einen Ausflug ins Komplexe lösen [mm] ($x^2+4=(x+2i)(x-2i)$) [/mm] (wobei ich das noch nicht gerechnet habe, daher ist das eher als Vermutung anzusehen) oder mit dem Wissen, dass
[mm] $\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$, [/mm] wenn man (in [mm] $\int{\frac{1}{x^2+4}dx}$) [/mm] z.B. $x=2y$ substituiert.
P.S.:
Ich habe gerade erst Koeppers Antwort gesehen. Formal hat er natürlich Recht, dass dort, wo ich "nur" $C$ schreibe, eigentlich $Cx+d$ stehen sollte, aber glücklicherweise ist das hier nicht relevant, da das $C$ bei $Cx+d$ von Koepper den Wert $0$ hat. Da habe ich etwas geschlampt, glücklicherweise hat das aber "zufällig" hier keine Auswirkung
Gruß,
Marcel
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