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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Do 10.05.2007 | | Autor: | fincher |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral{\bruch{e^{x}}{1+e^{3x}} dx}
[/mm]
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Hi! Bräuchte netterweise wiedermal eure Hilfe bei diesem Integral.
Meine Vorgehensweise:
[mm] \integral{\bruch{e^{x}}{1+e^{3x}} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{e^{x}}{1+(e^{x})^{3}} dx}
[/mm]
Subst.: [mm] t=e^{x} [/mm] ergibt [mm] \integral{\bruch{t}{1+t^{3}} dt} [/mm] <- Sorry, Tippfehler!
Korrektur: Subst.: [mm] t=e^{x} [/mm] ergibt [mm] \integral{\bruch{1}{1+t^{3}} dt}
[/mm]
Nun Partialbruchzerlegung: [mm] \integral{\bruch{1}{(t+1)*(t^{2}-t+1)} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*\underbrace{\integral{\bruch{1}{(t+1)} dt}}_{=I}+\underbrace{\integral{\bruch{t+2}{t^{2}-t+1} dt}}_{=II}
[/mm]
I ist kein Problem, aber bei II bekomm ich nichts brauchbares raus! Ausserdem wird das Beispiel so viel zu lang - ich vermute, ich übersehe irgend einen Trick (z.B. das ursprüngliche Integral irgendwie mit Hyperbelfunktionen in Verbindung zu bringen).
Kann mir jemand helfen?
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Hallo fincher,
hast du nicht vergessen, bei der Substitution das dx mit zu ersetzen?
Wenn du [mm] t:=e^x [/mm] setzt, dann ist [mm] \frac{dt}{dx}=e^x\Rightarrow dx=\frac{dt}{e^x}
[/mm]
Damit wird aus [mm] \int{\frac{e^x}{1+(e^x)^3}dx}=\int{\frac{e^x}{1+t^3}\frac{dt}{e^x}dt}=\int{\frac{1}{1+t^3}dt}
[/mm]
Das sollte doch bedeutend einfacher zu behandeln sein 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 10.05.2007 | | Autor: | fincher |
Erstmal vielen Dank für deine mehr als rasche Antwort!
Du hast recht, es hat sich bei mir ein kleiner Fehler beim abtippen eingeschlichen. Hab das dx bei meiner Berechnung natürlich berücksichtigt (Artikel bereits korrigiert).
Die Zeile der PBZ sollte wieder stimmen, womit mein Problem aber leider weiterhin besteht!
Könntest du nochmal dürberschaun, bitte?
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Hallo nochmal,
ich habe nach der PBZ für das hintere Integral raus [mm] -\frac{1}{3}\int{\frac{t-2}{t^2-t+1}dt}
[/mm]
Mal angenommen, das stimmt (falls deines richtig ist, müsste die weitere Rechnung ebenso gehen), so kann man das so zerlegen, dass man die Ableitung des Nenners in den Zähler bastelt:
[mm] -\frac{1}{3}\int{\frac{t-2}{t^2-t+1}dt}=-\frac{1}{6}\int{\frac{2t-4}{t^2-t+1}dt} [/mm] mit [mm] \frac{2}{2} [/mm] erweitert und [mm] \frac{1}{2} [/mm] vor das Integral gezogen
[mm] =-\frac{1}{6}\int{\frac{2t-1-3}{t^2-t+1}dt}=-\frac{1}{6}\left(\int{\frac{2t-1}{t^2-t+1}+\frac{-3}{t^2-t+1}dt}\right)
[/mm]
Das erstere ist ein logarithmisches Integral, also Stammfkt. [mm] ln(|t^2-t+1|)
[/mm]
Beim letzteren kannst du die -3 rausziehen und dann ist das glaube ich was mit arctan - musste aber mal inner Formelsammlung gucken
LG
schachuzipus
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So nochmal hallo,
zum allerletzten Integral (das mit arctan)
Bringe den Nenner in die Form [mm] t^2+a^2
[/mm]
Bedenke, dass die Ableitung vom arctan wie folgt lautet:
[mm] (arctan(x))'=\frac{1}{x^2+1}
[/mm]
Damit ist [mm] \int{\frac{1}{t^2+a^2}dt}=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{t}{a}\right)
[/mm]
Hoffe du kommst damit ans Ziel.
Vergiss aber die ganzen Vorfaktoren vor den Integralen nicht
Ist ja doch alles etwas konfus und durcheinander
Bis dann und viel Erfolg mit diesem Biest
schachuzipus
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