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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Do 10.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | | [mm] ∫x^2 [/mm] * [mm] 2^x [/mm] |
Kann mir bitte jemand dabei helfen das Integral zu lösen? Mein Problem: Ich weiß das die Stammfunktion vpn [mm] 2^x= 2^x/ln2 [/mm] ist. aber ich weiß nicht wie ich das im Integral dann anwenden kann...
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> [mm]∫x^2[/mm] * [mm]2^x[/mm]
> Kann mir bitte jemand dabei helfen das Integral zu lösen?
Du meinst
[mm] \int{x^2*2^x dx}
[/mm]
> Mein Problem: Ich weiß das die Stammfunktion vpn [mm]2^x= 2^x/ln2[/mm]
> ist.
Ja, völlig richtig (bis auf die Formulierung die Stammfunktion. Es ist eine Stammfunktion, beachte den Unterschied!). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und vorneweg: die wirst du auch benötigen.
> aber ich weiß nicht wie ich das im Integral dann
> anwenden kann...
Durch zweimalige partielle Integration. Wenn du diese so ansetzt:
[mm] \int{(u'*v) dx}=u*v-\int{(u*v') dx}
[/mm]
dann musst du
[mm] u'=2^x [/mm] sowie
[mm] v=x^2
[/mm]
wählen, damit es klappt.
Jetzt würde ich dich darum bitten, das mal zu probieren und deinen Versuch hier vorzustellen. Üblicherweise halten wir es hier so, dass mit einer Frage verbunden von vorn herein eigene Überlegungen angegeben werden, oder doch wenigstens die in der Schule bzw. im Studium durchgenommenen und damit zur Verfügungstehenden Inhalte. Dabei kommt man dann doch erfahrungsgemäß selbst auf eine Idee, die dann wie gesagt i.a. den Ausgangspunkt eines solchen Threads bilden sollte.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 10.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
Zuerst mal vielen liebe Dank für die nette Begrüßung!
Habe nun die partielle Integration angewandt und meine Rechenschritte sind folgende:
[mm] \integral x^2 [/mm] * [mm] 2^x [/mm] dx
die erste partielle Integration
v = [mm] x^2 [/mm] v´=2x
u´= [mm] 2^x [/mm] u = [mm] 2^x/ln2
[/mm]
= [mm] 2^x/ln2 [/mm] * [mm] x^2 -\integral 2^x/ln2 [/mm] * 2x dx=
= [mm] 2^x/ln2 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] -2 * [mm] \integral 2^x/ [/mm] ln2 * x dx=
die zweite partielle Integration:
g = x g´= 1
f´= [mm] 2^x/ln2 [/mm] f = [mm] 2^x/ln2 [/mm] (stimmt f? ansonsten fangen schon da meine Probleme an)
[mm] =2^x/ln2* x^2 [/mm] - 2 * [mm] (2^x/ln2*x -\integral 2^x/ln2*1 [/mm] dx )=
und nun stehe ich auch schon an. ich weiß nicht wie man [mm] 2^x/ln2 [/mm] integieren kann oder integriert man nur [mm] 2^x?
[/mm]
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Hallo Marie886,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zuerst mal vielen liebe Dank für die nette Begrüßung!
>
> Habe nun die partielle Integration angewandt und meine
> Rechenschritte sind folgende:
>
>
> [mm]\integral x^2[/mm] * [mm]2^x[/mm] dx
>
> die erste partielle Integration
> v = [mm]x^2[/mm] v´=2x
> u´= [mm]2^x[/mm] u = [mm]2^x/ln2[/mm]
>
[mm]v=x^{2}, \ v'=2x[/mm]
[mm]u'=2^{x}, \ u=\bruch{1}{\ln\left(2\right)}2^{x}[/mm]
> = [mm]2^x/ln2[/mm] * [mm]x^2 -\integral 2^x/ln2[/mm] * 2x dx=
> = [mm]2^x/ln2[/mm] * [mm]x^2[/mm] -2 * [mm]\integral 2^x/[/mm] ln2 * x dx=
> die zweite partielle Integration:
>
> g = x g´= 1
> f´= [mm]2^x/ln2[/mm] f = [mm]2^x/ln2[/mm] (stimmt f? ansonsten fangen
> schon da meine Probleme an)
>
Wenn f' nach x integriert wird, erhält man
[mm]f=\blue{\bruch{1}{\ln\left(2\right)}}\bruch{1}{\ln\left(2\right)}*2^{x}[/mm]
> [mm]=2^x/ln2* x^2[/mm] - 2 * [mm](2^x/ln2*x -\integral 2^x/ln2*1[/mm] dx )=
>
> und nun stehe ich auch schon an. ich weiß nicht wie man
> [mm]2^x/ln2[/mm] integieren kann oder integriert man nur [mm]2^x?[/mm]
>
Es wird nur [mm]2^{x}[/mm] integriert.
[mm]\bruch{1}{\ln\left(2\right)}[/mm] wird als Konstante mitgeschleppt.
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\ln\left(2\right)} 2^{x}\ dx}=\bruch{1}{\ln\left(2\right)}\integral_{}^{}{ 2^{x}\ dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo,
leider funktioniert bei mir gerade die Zitierfunktion mal wieder nicht.
Dein Ergebnis ist richtig bis auf den ersten Summanden, wo du am x das Quadrat vergessen oder aus Versehen Klammern falsch gesetzt hast.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Fr 11.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
danke für den Hinweis- müsste ausgebessert sein. Ansonsten habe ich das handgerechnete Bsp. fotografiert und stell es soeben online (zur besseren Übersicht)
1.Partielle Integration:
> $ [mm] v=x^{2}, [/mm] \ v'=2x $
> $ [mm] u'=2^{x}, [/mm] \ [mm] u=\bruch{1}{\ln\left(2\right)}2^{x} [/mm] $
$ [mm] \integral x^2 [/mm] $ * $ [mm] 2^x [/mm] $ dx =
= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - $ [mm] \integral 2^x/ln(2) [/mm] $ *2x dx=
= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - 2* $ [mm] \integral 2^x/ln(2) [/mm] $ * x dx=
2. Partielle Integration:
v = x v´= 1
u´= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ u = 1/ln(2) * $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $
= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - $ [mm] 2\cdot{}[2^x/ln(2) [/mm] $ * 1/ln(2) * x - $ [mm] \integral [/mm] $ 1/ln(2) * $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * 1dx]=
= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - $ [mm] 2\cdot{}[2^x/ln(2) [/mm] $ * 1/ln(2) * x - ( 1/ln(2) * (1/ln(2) * $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ )]+ c
= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - 2 * ( $ [mm] 2^x/(ln(2))^2 [/mm] $ * x - $ [mm] 2^x/(ln(2))^3 [/mm] $ ) + c =
= $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] x^2/ln(2) [/mm] $ - $ [mm] [2^x [/mm] $ * $ [mm] 2x/(ln(2))^2 [/mm] $ - $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] 2/(ln(2))^3] [/mm] $ + c =
= $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] x^2/ln(2) [/mm] $ - $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] 2x/(ln(2))^2 [/mm] $ + $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] 2/(ln(2))^3 [/mm] $ + c =
Brucherweiterung bzw. auf den gleichen Nenner bringen:
$ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ * $ [mm] (ln(2))^2/(ln(2))^3 [/mm] $ - $ [mm] 2^x [/mm] $ * 2x * $ [mm] ln(2)/(ln(2))^3 [/mm] $ + $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] 2/(ln(2))^3 [/mm] $ + c =
zum Schluss noch $ [mm] 2^x [/mm] $ herausheben:
= $ [mm] 2^x [/mm] $ * [(x * $ [mm] ln(2))^2 [/mm] $ - 2x * ln(2) + 2] + c/ $ [mm] (ln(2))^3 [/mm] $
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Vielen Dank für eure Hilfe!
