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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo zusammen,
es stellte sich mir die Aufgabe das folgende Integral zu berechnen. Leider weiß ich nicht, wie dies machbar ist:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*exp(-\bruch{x^2}{4k^2t}) dx}
[/mm]
Ich weiß zwar, dass [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-\bruch{x^2}{4k^2t}) dx}= \wurzel{4k^2t \pi} [/mm] gilt, bin mir aber nicht sicher, ob mir das wirklich weiterhilft? Kann mir jemand sagen, wie ich vorgehen muss?
Viele Grüsse,
Ellie123
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> Hallo zusammen,
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> es stellte sich mir die Aufgabe das folgende Integral zu
> berechnen. Leider weiß ich nicht, wie dies machbar ist:
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> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*exp(-\bruch{x^2}{4k^2t}) dx}[/mm]
>
> Ich weiß zwar, dass
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-\bruch{x^2}{4k^2t}) dx}= \wurzel{4k^2t \pi}[/mm]
> gilt, bin mir aber nicht sicher, ob mir das wirklich
> weiterhilft? Kann mir jemand sagen, wie ich vorgehen muss?
>
>
> Viele Grüsse,
> Ellie123
Hallo Ellie,
zuallererst würde ich einmal die Konstante $\ a:=\ [mm] -\frac{1}{4k^2\,t}$ [/mm]
einführen, um mir Schreibarbeit zu ersparen.
Diese Konstante soll dann (vermutlich) einen Wert zwischen
-1 und 0 haben, damit das Integral existieren kann.
Wir sind dann beim Integral [mm] $\integral x^2*exp(a*x^2)\ [/mm] dx$ ,
auf welches man doch bestimmt einmal partielle Inte-
gration ansetzen kann. Achte aber dabei gut darauf,
wie du den Integranden in Faktoren zerlegen
musst, damit es klappt.
Die dir bekannte Formel wäre mit dem a notiert:
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{exp(a*x^2)\ dx}\ = \wurzel{-\frac{\pi}{a}}[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo nochmal,
ich habs versucht, aber leider ist mir nicht ganz klar, wie ich auf das Integral
> Wir sind dann beim Integral [mm]\integral x^2*exp(a*x^2)\ dx[/mm]
> ,
> auf welches man doch bestimmt einmal partielle Inte-
> gration ansetzen kann. Achte aber dabei gut darauf,
> wie du den Integranden in Faktoren zerlegen
> musst, damit es klappt.
partielle Integration anwenden kann so dass es funktioniert. Vielleicht kann mir jemand noch einen Tipp geben?
Viele Grüsse,
Ellie123
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Hallo Ellie,
ich verwende mal die Merkschreibweise für partielle Integration:
[mm] \int{u'v}=uv-\int{uv'}
[/mm]
Warhscheinlich kennst Du das so, vielleicht mit anderen Buchstaben, jedenfalls ohne alle $u(x)$ etc., auch ohne die nötigen [mm] \mathrm{dx}.
[/mm]
Nimm [mm] u'=x*e^{ax^2} [/mm] und $v=x$.
$u'$ ist leicht zu integrieren. Falls Du das gerade nicht siehst, dann substituier mal [mm] z=x^2.
[/mm]
Mit diesem Ansatz partieller Integration solltest Du schnell weiterkommen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 07.01.2014 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo nochmal,
vielen Dank für die Antworten. Ein wenig weiter bin ich schon gekommen. Aber ganz bestimmen konnte ich das Integral noch nicht. Und zwar bin ich jetzt mit Hilfe der partiellen Integration bzw. der von mir anfangs beschriebenen Formel (vgl. zweites Gleichheitszeichen) bis hier gekommen:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*e^{ax^2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2a}*x*e^{ax^2} \big|_{-\infty}^{\infty} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2a}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{ax^2}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2a}*x*e^{ax^2} \big|_{-\infty}^{\infty}-\bruch{1}{2a}*\sqrt{4k^2t\pi}
[/mm]
Ist dies so richtig?Falls ja, bin ich mir aber leider nicht sicher, wie ich diesen Teil weiter berechnen kann: [mm] \bruch{1}{2a}*x*e^{ax^2} \big|_{-\infty}^{\infty}?
[/mm]
Könnte mir da jemand vielleicht nochmal helfen?
Vielen Dank schon mal im Voraus. Ellie
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> Hallo nochmal,
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> vielen Dank für die Antworten. Ein wenig weiter bin ich
> schon gekommen. Aber ganz bestimmen konnte ich das Integral
> noch nicht. Und zwar bin ich jetzt mit Hilfe der partiellen
> Integration bzw. der von mir anfangs beschriebenen Formel
> (vgl. zweites Gleichheitszeichen) bis hier gekommen:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*e^{ax^2} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2a}*x*e^{ax^2} \big|_{-\infty}^{\infty}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2a}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{ax^2}dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2a}*x*e^{ax^2} \big|_{-\infty}^{\infty}-\bruch{1}{2a}*\sqrt{4k^2t\pi}[/mm]
>
> Ist dies so richtig?
Ja, du solltest aber jetzt das a wieder durch den ihm
entsprechenden Term in k und t ausdrücken !
Falls ja, bin ich mir aber leider nicht
> sicher, wie ich diesen Teil weiter berechnen kann:
> [mm]\bruch{1}{2a}*x*e^{ax^2} \big|_{-\infty}^{\infty}?[/mm]
>
> Könnte mir da jemand vielleicht nochmal helfen?
> Vielen Dank schon mal im Voraus. Ellie
Guten Abend Ellie
Die Konstanten t und k sollen bestimmt positiv sein und
damit wird a negativ. Der Ausdruck $\ [mm] x*e^{a*x^2}$ [/mm] strebt
für negatives a gegen 0 , wenn x gegen [mm] +\infty [/mm] oder gegen [mm] -\infty [/mm] strebt.
Damit verschwindet der gesamte Beitrag dieses ausintegrierten
Teils.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo,
vielen Dank nochmal!
Habs jetzt verstanden.
Gruß, Ellie
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