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| Aufgabe | | Der Graph einer Funktion 4 Grades der Form: [mm] f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d [/mm] hat den Punkt (0/1) als Sattelpunkt.Der Flächeninhalt der Fläche ,die die Tangente durch diesesn Punkt einschließt beträgt 5000 Flächeneinheiten. |
Hallo,
ich habe eine kurze Frage.
Eigentlcih hab ich die Aufgabe verstanden und habe für a= -5 raus. Allerdings hatten wir in der Schule auch noch notiert,dass a = 5 sein kann,obwohl es rechnerisch eindeutig -5 ist. Könnte mir jemand erkklären,warum 5 auch möglich ist?
lg
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Hallo friendy,
auf den ersten Blick sehen die Angaben ein bisschen spartanisch aus, reichen aber dann doch.
Aus der Angabe des Sattelpunkts lässt sich ermitteln: b=c=0, d=1.
Es bleibt die Funktion [mm] f(x)=x^4+ax^3+1.
[/mm]
Die Tangente im Sattelpunkt ist, wie wir von Anfang an wissen, y=1.
Die Angabe der Fläche macht nur Sinn, wenn diese Tangente und die Funktion einen weiteren Schnittpunkt besitzen, es also außer dem Sattelpunkt noch eine Stelle gibt, wo
[mm] x^4+ax^3+1=1 \Rightarrow x^3(x+a)=0 \Rightarrow [/mm] Nullstellen [mm] x_{0,1}=0, x_{0,2}=-a
[/mm]
Nun hast Du Deine Integrationsgrenzen. Du findest leicht heraus, dass zwischen den beiden Schnittpunkten mit der Tangenten die Funktion unterhalb der Tangente verläuft und bildest das Integral
[mm] \integral_{0}^{a}{f(x)-1 dx}
[/mm]
Hieraus bestimmst Du a nun so, dass der Wert des uneigentlichen Integrals 5000 beträgt.
Zwischenüberlegung: [mm] f_(x,a)=x^4+a^3+1=f_(-x,-a)=x^4-a*(-x)^3+1
[/mm]
Ein Vorzeichenwechsel von a ergibt eine an der y-Achse gespiegelte Funktion. Es muss also zwei Lösungen geben, a und -a. Genau das sagte Dir allerdings auch schon die Auflösung der integrierten Fläche nach a.
Für a habe ich einen ganz anderen Wert heraus, aber ich habe auch nur schnell drübergerechnet:
[mm] a=\pm \bruch{10}{\wurzel[5]{9}} \approx6,44394...
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Do 18.12.2008 | | Autor: | friendy88 |
Danke.
lg
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