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| Aufgabe | | Sei $E$ ein topologischer Vektorraum und $F$ ein echter Unterraum von $E$, also [mm] $F\ne [/mm] E$. Zeigen Sie, dass [mm] $F^o=\emptyset$ ($F^o$ [/mm] soll das Innere von $F$ sein). |
Hallo Zusammen,
ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe, obwohl es mir nicht so schwer erscheint. Also hier mal mein Ansatz:
Angenommen, [mm] $F^{o}\ne \emptyset$. [/mm] Dann gibt es einen Punkt [mm] $x\in F^o$ [/mm] und eine (offene?) Umgebung $U [mm] \subseteq F^o$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] U$.
Jetzt weiß ich aber nicht weiter...Ich würde gern zeigen, dass es dann Vektoren in dieser Umgebung gibt, die aber nicht in [mm] $F^o$ [/mm] liegen...so war jedenfalls meine Idee, aber irgendwie weiß ich nicht weiter...
Vielen Dank schon mal im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Di 12.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]E[/mm] ein topologischer Vektorraum und [mm]F[/mm] ein echter
> Unterraum von [mm]E[/mm], also [mm]F\ne E[/mm]. Zeigen Sie, dass
> [mm]F^o=\emptyset[/mm] ([mm]F^o[/mm] soll das Innere von [mm]F[/mm] sein).
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe, obwohl es
> mir nicht so schwer erscheint. Also hier mal mein Ansatz:
>
> Angenommen, [mm]F^{o}\ne \emptyset[/mm]. Dann gibt es einen Punkt
> [mm]x\in F^o[/mm] und eine (offene?) Umgebung [mm]U \subseteq F^o[/mm] mit
> [mm]x\in U[/mm].
>
> Jetzt weiß ich aber nicht weiter...Ich würde gern zeigen,
> dass es dann Vektoren in dieser Umgebung gibt, die aber
> nicht in [mm]F^o[/mm] liegen...so war jedenfalls meine Idee, aber
> irgendwie weiß ich nicht weiter...
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus!
Deine Idee ist nicht schlecht.
Annahme: F enthält einen inneren Punkt [mm] x_0.
[/mm]
Du kannst [mm] x_0 [/mm] =0 annehmen (warum ?)
Dann gibt es also eine Nullumgebung U mit U [mm] \subseteq [/mm] F.
U ist absorbierend, d.h.: ist x [mm] \in [/mm] E, so gibt es ein r>0 mit: $x [mm] \in [/mm] s*U$ für alle s mit |s| [mm] \ge [/mm] r.
Zeige damit: ist x [mm] \in [/mm] E, so ist x [mm] \in [/mm] F.
Damit hast Du einen Widerspruch.
FRED
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Hallo und vielen Dank für die Antwort. Genau so hatte ich mir das irgendwie vorgestellt, hat aber irgendwie im Kopf nicht so zusammengepasst 
Also mal schauen, ob ich dich richtig verstanden habe:
...bla bla...$0$ ist in [mm] $F^o$ [/mm] weil $F$ Unterraum...bla bla.. Dann gibt es eine Nullumgebung $U$, die absorbierend ist, weil $U$ Nullumgebung. Dann gilt für alle [mm] $x\in [/mm] E$, dass ein [mm] $r\geq [/mm] 0$ existiert, mit [mm] $x\in s\cdot [/mm] U$ für alle $s [mm] \geq [/mm] r$ daraus folgt also [mm] $x\in s\cdot [/mm] U [mm] \subseteq s\cdot [/mm] F$ und das ist gleich $F$ weil $F$ als Unterraum abgeschlossen gegenüber skalarer Multiplikation ist. Also wäre $F=E$ und das ist mein Widerspruch. Ok so?
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 12.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und vielen Dank für die Antwort. Genau so hatte ich
> mir das irgendwie vorgestellt, hat aber irgendwie im Kopf
> nicht so zusammengepasst
>
> Also mal schauen, ob ich dich richtig verstanden habe:
>
> ...bla bla...[mm]0[/mm] ist in [mm]F^o[/mm] weil [mm]F[/mm] Unterraum..
nein. Wir hatten angenommen, dass F einen inneren Punkt [mm] x_0 [/mm] hat, also [mm] x_0 \in F^o.
[/mm]
Dann können wir [mm] x_0=0 [/mm] annehmen.
> .bla bla.. Dann
> gibt es eine Nullumgebung [mm]U[/mm], die absorbierend ist, weil [mm]U[/mm]
> Nullumgebung.
??? Weil 0 innerer Punkt von F ist, gibt es eine Nullumgebung U mit U [mm] \subseteq [/mm] F.
> Dann gilt für alle [mm]x\in E[/mm], dass ein [mm]r\geq 0[/mm]
> existiert, mit [mm]x\in s\cdot U[/mm] für alle [mm]s \geq r[/mm] daraus
> folgt also [mm]x\in s\cdot U \subseteq s\cdot F[/mm] und das ist
> gleich [mm]F[/mm] weil [mm]F[/mm] als Unterraum abgeschlossen gegenüber
> skalarer Multiplikation ist. Also wäre [mm]F=E[/mm] und das ist
> mein Widerspruch. Ok so?
Nicht ganz: Sei x [mm] \in [/mm] E. Weil U absorbierend ist, gibt es ein r>0 mit:
$x [mm] \in [/mm] s*U$ für alle s mit |s| [mm] \ge [/mm] r.
Dann ist
$x [mm] \in [/mm] r*U [mm] \subseteq [/mm] r*F=F$
FRED
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> Danke schon mal!
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