Innerer Punkt im Komplexem < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo.
Ich denke bei dieser verhältnismäßig leichten aufgabe müsste alles richtig sein, braüchte lediglich bestätigungda ich mir in komplexen zahlen noch recht unsicher bin und überprüfen möchte ob mein Verständnis soweit korrekt ist....
Dank im voraus...
Aufg.:
Zeigen sie dass die imaginäre Einheit i ein innerer punkt von M={z [mm] \in \IC [/mm] |Im(z)>0} ist.
meine lsg:
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] : z=Re(z)+Im(z)*i
demnach gilt: i=Re(i)+Im(i)*i
Also Re(i)=0 und Im(i)=1 >0 somit gilt i [mm] \in [/mm] M
noch zz.:
[mm] \exists \varepsilon>0 [/mm] : [mm] U\varepsilon(i) \subseteq [/mm] M
Sei also [mm] \varepsilon=i/2
[/mm]
also [mm] U\varepsilon(i)={z \in \IC |Re(z)=0, Im(z)\in[1/2, 3/2]}
[/mm]
folgt wegen [mm] \forall [/mm] z [mm] \in U\varepsilon(i): [/mm] Im(z)>0 dass U [mm] \varepsilon(i) \subseteq [/mm] M
Somit ist i [mm] \in [/mm] M und kein Berührpkt. von ( [mm] \IC [/mm] \ M)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> hallo.
> Ich denke bei dieser verhältnismäßig leichten aufgabe
> müsste alles richtig sein, braüchte lediglich bestätigungda
> ich mir in komplexen zahlen noch recht unsicher bin und
> überprüfen möchte ob mein Verständnis soweit korrekt
> ist....
>
> Dank im voraus...
>
> Aufg.:
> Zeigen sie dass die imaginäre Einheit i ein innerer punkt
> von [mm] M=\{z\in \IC|Im(z)>0\} [/mm] ist.
>
> meine lsg:
>
> [mm]\forall[/mm] z [mm]\in \IC[/mm] : z=Re(z)+Im(z)*i
> demnach gilt: i=Re(i)+Im(i)*i
> Also Re(i)=0 und Im(i)=1 >0 somit gilt i [mm]\in[/mm] M
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> noch zz.:
> [mm]\exists \varepsilon>0[/mm] : [mm]U\varepsilon(i) \subseteq[/mm] M
>
> Sei also [mm]\varepsilon=i/2[/mm]
> also [mm]U\varepsilon(i)={z \in \IC |Re(z)=0, Im(z)\in[1/2, 3/2]}[/mm]
>
> folgt wegen [mm]\forall[/mm] z [mm]\in U\varepsilon(i):[/mm] Im(z)>0 dass U
> [mm]\varepsilon(i) \subseteq[/mm] M
> Somit ist i [mm]\in[/mm] M und kein Berührpkt. von ( [mm]\IC[/mm] \ M)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du mußt ja zeigen, daß es eine Kugel um i gibt, die noch ganz in M liegt, Kugeln haben aber einen positiven, reellen Radius!
Du machst es dir auch unnötig schwer, denn alles was Du zeigen mußt, ist, daß es eine einzige solche offene Kugel gibt.
Sei zu diesem Zwecke beispielsweise [mm] r=\frac{1}{3}
[/mm]
Für alle [mm] x\in \IC [/mm] mit [mm] $|x-i|0$, [/mm] also [mm] $x\in [/mm] M$ und damit, da [mm] $x\in U_{\frac{1}{3}}(i)$, $U_{\frac{1}{3}}(i)\subset [/mm] M$, also i innerer Punkt von M.
Gruß,
Christian
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